Die mathematische Kunst von M.C. Escher

Einführung

Selbstbildnis

Mauritz Cornelis Escher, geboren 1898 in Leeuwarden, Holland, schaffte eine breite Palette von eigenartigen und faszinierenden Kunstwerken, die ein weites Feld mathematischer Ideen erkundet und darstellt.

Schon zu seinen Schulzeiten zeigte er besondere Neigungen für das Zeichnen und Design, was ihn zur Grafik führte.

1956 veranstaltete Escher seine erste große Ausstellung und wurde praktisch über Nacht zum internationalen Star. Seine größten Bewunderer waren und bleiben natürlich die Mathematiker und Mathematikbegeisterten. Sie bemerken in seinen Arbeiten ein außerordentliches mathematisches Visualisierungsvermögen. Obwohl Escher keine solide mathematische Ausbildung genossen hatte, war er sehr mathematikbegeistert.

Er war von der projektiven und nichteuklidischen Geometrie inspiriert, und er war auch von „unmöglichen“ Figuren begeistert. Er benutzte die Idee von Roger Penrose zum Kreieren vieler seiner Meisterwerke. Für die Studierenden der Mathematik sind in der Escherschen Arbeit zwei Aspekte interessant: räumliche Geometrie und räumliche Logik.

Mosaike

Die regelmäßige Aufteilung der Ebene wird Mosaik genannt und ist ein Muster von geschlossenen Figuren, welche lückenlos und ohne Überlappungen die gesamte Ebene bedeckt.

Aus der Mathematik ist bekannt, dass aus regulären Polygonen nur die Dreiecke, Vierecke und Hexagone für die Mosaiken verwendet werden können. Escher benutzte diese Basismuster in seinen Mosaiken, unter zusätzlicher Anwendung von Spiegelungen, Schiebungen und Drehungen zum Erreichen einer größeren Anzahl von Mustern.

Polyeder

Die gleichseitigen Körper, die auch als Polyeder bekannt sind, faszinierten Escher so stark, dass er sie zum Thema vieler seiner Arbeiten machte. Es gibt nur fünf Gruppen von Polyedern mit exakt ähnlichen polygonalen Oberflächen, die so genannten platonischen Körper: den Tetraeder, mit vier dreieckigen Oberflächen; den Würfel, mit sechs quadratischen Oberflächen; das Oktaeder, mit acht dreieckigen Oberflächen; das Dodekaeder, mit zwölf pentagonalen Oberflächen; das Ikosaeder, mit zwanzig dreieckigen Oberflächen.

In der Holzschnitzerei „Vier gleichkantige Körper“ fügt Escher platonische Körper zusammen, und zwar symmetrisch ausgerichtet und transparent, so dass jeder durch die anderen gesehen werden kann. Die Frage lautet nur, welcher platonische Körper dabei fehlt?

Es gibt viele interessante Körper, die aus platonischen Körpern abgeleitet werden können. Die Stellation bedeutet hier, dass alle Flächen des platonischen Körpers durch die Pyramiden ersetzt werden. So ist es bei dem abgebildeten Körper, der dreieckigen Flächen hat: Die Stellation führt ihn dann in einen dreidimensionalen Stern über. Ein wunderbares Beispiel für ein „stelliertes“ Dodekaeder findet man im Escherschen „Ordnung und Chaos“.

Ein weiterer interessanter Körper ist auch in „Sterne“ dargestellt, wo die Körper aus Oktaedern, Tetraedern und Kuben konstruiert sind.

Die "Form" des Raumes

Zu den wichtigsten Werken Eschers, aus mathematischer Sicht, gehören die Werke, die sich der „Natur des Raumes“ widmen. Seine Holzschnitzerei „Drei merkwürdige Perspektiven“ ist ein guter Anfang für unsere Besprechung. Die Arbeit kann als Beispiel für die Begeisterung des Künstlers für die Dimensionierung des Raumes und Fähigkeit des Menschen, Dreidimensionales als Zweidimensionales wahrzunehmen, angesehen werden.

Inspiriert von den Zeichnungen des Mathematikers H.S.M. Coxeter kreierte Escher viele wunderbare Darstellungen des hyperbolischen Raumes, wie die Holzschnitzerei „Kreislimit III“. Sie stellt uns zwei Arten des nichteuklidischen Raumes dar, und das Modell repräsentiert gewisse Ideen des französischen Mathematikers Poincare.
Um ein Gefühl von solchen Räumen zu bekommen, stellen Sie sich nun vor, Sie wären im Bild. Wenn Sie dann zum Rande des Bildes spazieren, schrumpfen Sie genau wie die Fische im Bild. Sie müssen dann unendlich lang laufen um den Rand des Bildes zu erreichen. Des Weiteren sind alle ähnlichen Dreiecke im Bild gleich groß, auch gibt es keine quadratischen Formen, weil dieser Raum keine Quadrate oder Rechtecke enthalten kann.

Sogar noch ungewöhnlicher erscheint uns der Raum in der Holzschnitzerei „Schlangen“. Hier gibt es sogar zwei Richtungen für einen unendlichen Spaziergang: zum Zentrum und zum Rand des Kunstwerks.

Zusätzlich zur euklidischen und nichteuklidischen Geometrie interessierte sich Escher für visuelle Aspekte der Topologie (ein Zweig der Mathematik der zu seinen Lebzeiten besonders blühte). Die Topologie beschäftigt sich hauptsächlich mit den Eigenschaften des Raumes, die unter Verzerrungen invariant sind. Die Topologen entdeckten damals Objekte mit kuriosen Eigenschaften.  Das bekannte Möbiusband ist ein gutes Beispiel dafür. Das Band hat eine merkwürdige Eigenschaft, dass es nur eine Seite und nur einen Rand hat. Escher benutzte oft diese Idee in seinen Kunstwerken. Als hervorragendes Beispiel dient uns „Möbiusband II“, an dem die Ameisen alle auf der gleichen Seite des Bandes laufen! Was wird passieren, wenn wir versuchen würden, das Band mit einer Schere zu zerschneiden?

Eine andere sehr bemerkenswerte Lithografie, Print Gallery“ genannt, zeigt uns beides: die Logik und die Topologie des Raumes. Ein junger Mann befindet sich gleichzeitig im und außerhalb des Bildes. Erstaunlich, aber irgendwie scheint es Escher doch gelungen zu sein, den Raum in sich selbst zu kehren. Das Geheimnis dieses Bildes könnte weniger obskur interpretiert werden, wenn wir uns erst einmal das Rasterblatt für diese Lithografie anschauen. Wir bemerken gleich, dass die Skalierung gleichmäßig vom Zentrum zum Rande des Bildes, und zwar im Urzeigersinn, wächst. Wir stellen fest, was dieser Trick nach sich zieht, nämlich das Loch in der Mitte des Bildes. Der Mathematiker würde es Singularität nennen, der Platz, in dem die Materie des Raumes nicht länger zusammenhängt. Es gibt einfach keine Möglichkeit, um diesen bizarren Raum zusammenzufügen. Genau in diesem Punkt platziert er dann sein Markenzeichen.