Paradoxa

Einleitung: Paradoxa

Paradoxa sind Phänomene, die sich der Anschauung entziehen; Fragen, deren Lösung mit gesundem Menschenverstand durchaus möglich ist, allerdings unserer Intuition widerspricht. Allerdings besitzt der Begriff Paradoxon (oder auch Paradoxie, Paradox) noch weitere Bedeutungen, siehe dazu zum Beispiel den entsprechenden Artikel auf Wikipedia.

Sie finden auf diesen Seiten auch die ausführliche Besprechung eines Buches, welches sich mit dem Themenkomplex befasst, sowie einen Artikel von Professor Behrends zum Geburtstagsparadoxon.

Das Ziegenproblem

Das Ziegenproblem war und ist teilweise heute noch ein viel umstrittenes Paradoxon. Selten haben sich sogar Mathematiker untereinander so gestritten, wie bei der Veröffentlichung dieses Problems im Jahr 1990. Es geht um folgenden Sachverhalt:

Sie sind Kandidat einer Spielshow und müssen sich für eine von drei Türen entscheiden. Hinter zwei Türen steht eine Ziege, sie repräsentiert eine Niete, hinter der dritten Türe ein Auto, das Sie gewinnen können. Nachdem Sie sich für eine Tür entschieden haben öffnet der Moderator eine der anderen beiden Türen und zwar immer eine, hinter der sich eine Ziege befindet. Nun stellt er Sie vor die Wahl, bei Ihrer Entscheidung zu bleiben, oder sich für eine der anderen Türen zu entscheiden. Was tun Sie?

Die zunächst überraschende Antwort lautet: Sie sollten besser wechseln, um die Wahrscheinlichkeit auf den Gewinn des Autos zu verdoppeln.

Aber wie lässt sich das erklären? Vielleicht helfen folgende Erklärungen:

1. Die Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht

In dem Moment, indem Sie sich für eine Tür entscheiden ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie richtig liegen und das Auto gewinnen genau 1 zu 3. Und das bleibt auch so. Der Moderator macht dann irgendetwas Belangloses, da er sich nicht vorher für eine feste Tür entscheidet, die er öffnen will (zum Beispiel die mit der größeren Ziege). Somit wird Ihre Chance nicht beeinflusst und Sie stehen immer noch mit 2/3 Wahrscheinlichkeit vor der falschen Tür.

2. Computersimulation

Eine nicht besonders sinnvolle Erläuterung ist die der Computersimulation, aber ich erwähne sie trotzdem, da es oft die war, die den verbohrtesten Mathematiker überzeugt hat. Schreibt man ein entsprechendes Programm, so zeigt sich schnell, wie hier die Wahrscheinlichkeiten verteilt sind und dass Sie sich für das Wechseln entscheiden sollten.

3. Drei Fälle

Hier betrachten wir einen speziellen Fall, zum Beispiel den, bei der das Auto hinter der ersten Tür steht. Der Mathematiker spricht bei einer solchen Ausgangssituation von "o.B.d.A." was "ohne Beschränkung der Allgemeinheit" heißt und hier bedeutet, dass es für das Problem keinen Unterschied macht, welche Tür wir betrachten.

Nun gibt es folgende drei Fälle:

Sie entscheiden sich für Tür 1. Dann sollten Sie nicht wechseln. In den anderen beiden Fällen jedoch wäre eine Wechsel sinnvoll: Sie haben sich für eine Niete entschieden, also steht hinter der nicht geöffneten Tür Ihr Gewinn: Der Spielleiter hat Ihnen die Ziege ja gezeigt und somit die andere Niete aus dem Spiel genommen. Zwei von drei Fällen sprechen also fürs Wechseln.

Die gleiche Erklärung ergibt sich, wenn Sie sich o.B.d.A. für Tür 1 entscheiden und überlegen, in welchem Fall Wechseln die richtige Entscheidung wäre (hier muss das Auto von Tür zu Tür "wandern" um auf 3 Fälle zu kommen).

4. 100 Türen

Statt drei Türen könnte man das Problem auf 100 Türen ausweiten. Dann müsste der Moderator 98 Türen – also alle mit einer Ziege - öffnen und Sie hätten die Wahl, stehen zu bleiben oder zu der letzten verschlossenen Tür zu wechseln. Wie würden Sie sich jetzt entscheiden?

5. Tür vor Tür

Sie entscheiden sich o.B.d.A. für Tür 1. Nun könnte man das Problem wie folgt umformulieren: Wir stellen eine neue große Tür vor die anderen beiden Türe (Tür 2 und 3). Sollte Ziege und Auto hinter der großen Tür stehen, dann dürfen Sie das Auto behalten (der Moderator würde ja durch öffnen der Ziegentür die Niete rausnehmen). Nehmen Sie nun immer noch Tür 1 oder lieber doch die große Tür hinter der sich zwei Türen, also die doppelte Chance verbirgt?!

Wer sich immer noch nicht zufrieden gibt, sollte das Buch von Gero von Randow ("Das Ziegenproblem") lesen, denn dort findet man noch eine Menge plausibler Erklärungen.

Kartoffelparadoxon

Voraussetzung:

Ein Bauer hat 100 kg Kartoffeln, welche er über den Winter in einer Scheune lagert. Anfangs haben die Kartoffeln einen Wassergehalt von 99%. Bei der Lagerung trocknen die Kartoffeln allerdings, d.h. Wasser wird ihnen entzogen. Nach dem Winter enthalten die Kartoffeln nur noch 98% Wasser. Die Frage lautet nun, wie viel Kilogramm Kartoffeln der Bauer nun noch besitzt?

Hier lässt sich der menschliche Verstand ein wenig von den Zahlen 99 und 98 verwirren. Viele versuchen mit dem Gesamtgewicht zu rechnen und von den 99% Prozent Wasser 98% Anteil zu berechnen, oder ähnliches. Dabei ist die Lösung und ihre Erklärung recht simpel, man braucht nur den richtigen Ansatz.

Der Trick besteht darin, die Trockenmasse zu beachten. Anfangs enthalten die Kartoffeln 1 kg Trockenmasse (und 99kg Wasser), nämlich genau 1 Prozent des Gesamtgewichts. Die Trockenmasse bleibt ständig dieselbe. Nur später ist eben dieses 1 Kilogramm Trockenmasse 2 % der Gesamtmasse, da das Wasser nur noch 98% der Gesamtmasse ausmacht.

1 kg = 2% => 50 kg = 100%

Die Antwort ist also: Übrig bleiben nur 50 kg.

Hilberts Hotel

Hilberts Hotel erwartet ein wenig abstraktes Denken, da es ein Paradoxon ist, welches mit der Unendlichkeit arbeitet.

Für Hilberts Hotel gelten folgende Voraussetzungen.

Hilberts Hotel hat unendlich viele Zimmer, die allerdings alle ausgebucht sind. Nun kommt ein hoher Gast zu Besuch und möchte noch ein Zimmer haben. Der Hotelier sucht nun nach einer Lösung den Gast unterzubringen, ohne einen der anderen Gäste aus dem Hotel zu verscheuchen.

Was kann er tun?

Die Antwort ist ganz simpel, man muss nur ein bißchen mit der Unendlichkeit spielen:

Der neue Gast bekommt Zimmer 1. Der Gast aus Zimmer 1 zieht um ins Zimmer 2, der aus Zimmer 2 ins Zimmer 3 und so weiter. Damit nicht jeder Gast sein Zimmer wechseln müsste, könnte der Gast aus Zimmer eins auch gleich ins Zimmer 10 gehen und der von dort ins Zimmer 100. Der Gast aus Zimmer 100 würde ins 1000. Zimmer ziehen und wenn man das Spielchen (unendlich oft) fortführt hat jeder wieder ein Zimmer.

Hilberts Bus ist eine Abwandlung des Problems aber geringfügig komplizierter:

Hilberts Hotel ist trotz seiner unendlich vielen Zimmer schon wieder ausgebucht. Nun kommt sogar ein Bus an, der wiederum unendlich viele Fahrgäste hat, die alle ein Zimmer in Hilberts Hotel haben wollen. Wie kann man nun vorgehen, um für alle einen Platz zu schaffen?

Dieses Mal schickt der Hotelier jeden Gast in das Zimmer mit der doppelte Zahl seines alten Zimmers hat. Jemand aus Zimmer x muss nun ins Zimmer 2x. Damit sind nun die Zimmern mit geraden Nummern vergeben und die Gäste aus dem Bus können in den (unendlich vielen) Zimmern mit ungeraden Nummern übernachten.

Hilberts Festival heißt die dritte Variante dieses Paradoxons.

Hier kommen unendlich viele Busse mit unendlich vielen Fahrgästen an. Die Lösung ist dieses Mal noch ein wenig komplizierter und arbeitet mit dem Cantorschen Diagonaltrick (lässt sich zum Beispiel in dem Buch "Paradoxien" von Johann Berger nachlesen).

Eine andere Lösung nutzt die Unendlichkeit von Primzahlen aus:

Die Gäste aus dem Hotel gehen wieder in die geraden Zimmer. Die Fahrgäste aus Bus 1 besetzen dann die Zimmer 3, 9, 27, 81, usw., also alle Zimmer die sich mit 3 hoch n darstellen lassen. Bus 2 geht in die Potenzen von 5, Bus 3 in die Potenzen von 7, etc. Jeder Bus nimmt also immer die nächste Primzahl und sucht sich die Zimmer aus, die sich als Potenz dieser Primzahl schreiben lassen. So hat jeder Bus unendlich viele Zimmer für sich. Da es keine größte Primzahl gibt, ist auch für jeden Bus eine Primzahl da. Da es sich um Primzahlen handelt, überschneiden sich die Zimmer auch nicht. Dafür bräuchten zwei Zimmer ja schließlich dieselbe Primfaktorzerlegung. Jedes Zimmer hat aber nur eine einzige Primzahl in der Zerlegung.

Apfelsinenparadoxon

Das "Apfelsinenparadoxon" kann wie folgt beschrieben werden:

Ein Seil wird so zurecht geschnitten, dass es genau um ein Apfelsine passt. Nun nehmen wir das Seil und verlängern es um einen Meter. Wie viel Abstand hat das Seil jetzt von der Apfelsine?

Das Gleiche kann mit der Erde machen. Hier wird das Seil um den Äquator gelegt und anschließend auch um einen Meter verlängert. Und auch hier ist nach dem Abstand gefragt.

Das Paradoxe ist, dass der Abstand in beiden Fällen gleich groß ist, also bei der Apfelsine mit 16cm erstaunlich (relativ zur Läge des Seiles) klein und bei der Erde mit 16cm erstaunlich (relativ) groß.

Hier die passende Erklärung in Form einer Rechnung:

Der gesuchte Abstand zwischen Erdoberfläche und Seil wird im Folgenden als s bezeichnet, r ist der Abstand zwischen Erdmittelpunkt und Erdoberfläche. U(a) steht für den alten Umfang des Seils.

Es gilt:

2 π r = U(a)    (Formel für den Umfang eines Kreises)

2 π (r + s) = U(a) + 1    (Umfang des neuen, größeren Kreises)

<=> 2 π r + 2 π s = U(a) + 1   

<=> 2 π s = 1

=> s = 1/(2 π )

Somit ergibt sich für s ein Wert von ungefähr 0,16m also 16cm.

Da die obenstehende Rechnung ohne konkrete Werte für r und U(a) auskommt, gilt dies für jede beliebige Kugel (jeden bel. Kreis) - ganz unabhängig davon, welche Größe sie besitzt. Somit gilt der gleiche Wert auch für eine Apfelsine, einen Tischtennisball, die Erde oder auch die Sonne.