Mathematik für alle Sinne
Dreidimensionale Schnitte im vierdimensionalen Würfel
|
Schon im Dreidimensionalen kann es mit dem Würfel Überraschungen geben: Schräge Schnitte mit einer Ebene können zu sechseckigen Flächen führen. |
 |
Bei vier Dimensionen ist alles erwartungsgemäß noch viel komplizierter. Dort ist der Würfel dasjenige konvexe Gebilde, das von den 16 Vektoren (±1,±1,±1,±1) erzeugt wird. |
||
 |
 |
 |
Der vierdimensionale Würfel: Vorbereitung
Mal angenommen, Sie wären ein eindimensionales Lebewesen. Um Ihnen klar zu machen, was der Rand eines Quadrats ist, könnte man eine aus vier Segmenten bestehende Linie vorgeben und die beiden Enden als identisch deklarieren: Wenn man links (bei "A") herauskrabbelt, kommt man gleichzeitig rechts (bei "B") wieder hinein:
Jetzt sind Sie zweidimensional, Sie möchten unbedingt "erfahren", was ein dreidimensionaler Würfel ist. Dafür sind Sie aufgrund Ihrer Gehirnstruktur nicht vorbereitet. Man kann aber trotzdem versuchen, Ihnen klarzumachen, wie die Geometrie der zweidimensionalen Oberfläche eines dreidimensionalen Würfels beschaffen ist. Dazu müssen Sie sich auf die nachstehend skizzierte Fläche begeben (die dreidimensionale Lebewesen, die schon einmal einen Würfel aus Papier gefaltet haben, natürlich kennen). Die "Spielregel" für Sie: Sie können die Fläche nur scheinbar verlassen. Wenn Sie glauben, irgendwo herauszukrabbeln, kommen Sie gerade woanders wieder herein. Ein Verlassen bei "a" etwa entspricht einem Einstieg in "b", genau so sind die Kanten "c" und "d" zu identifizieren, und so weiter.
 |
Auch ohne eine wirkliche Vorstellung vom Dreidimensionalen zu haben, können Sie die Fläche erforschen. Sie werden zum Beispiel schnell feststellen, dass sie zwar grenzenlos ist, dennoch aber einen endlichen Flächeninhalt hat. |
Der vierdimensionale Würfel
 |
Nebenstehend sieht man ein Holzmodell der dreidimensionalen Oberfläche eines vierdimensionalen Würfels. Es ist genau so zu interpretieren wie die Versuche oben, ein- bzw. zweidimensionalen Wesen ein Gefühl dafür zu geben, was sie sich unter dem Rand eines Quadrats bzw. der Oberfläche eines dreidimensionalen Würfels vorstellen können.
Die "Spielregeln" gleichen denen, die bei ein und zwei Dimensionen vereinbart wurden: Wenn man sich in dem Modell befindet und herumspaziert, so kann man es nicht verlassen.
|
Der Künstler Salvador Dalí hat die dreidimensionale Oberfläche des vierdimensionalen Würfels in einem Bild verarbeitet. In Crucifixion (Corpus Hypercubus) aus dem Jahre 1954 ist der daran gekreuzigte Jesus. abgebildet. Wollte Dalí ausdrücken, dass es sich mit dem, was wir vom Vierdimensionalen erfassen können, ähnlich verhält wie mit dem, was wir von Gott begreifen können? |
 |
