Pressestimmen

Ein Koffer voller Zahlen

Weltweit gehört die Geschichte dieses Koffers heute zu den Ritualen einer Algebravorlesung. Wo auch immer man Mathematik studiert, irgendwann bekommt man die Anekdote in der einen oder anderen Form zu hören. Die Details weichen zwar jeweils ein wenig voneinander ab. Der Kern der Geschichte aber ist stets derselbe:

Ein eifriger junger Mathematikstudent, der leider nicht genial ist, möchte gegen Ende des 19. Jahrhunderts promovieren. Er wird bei Felix Klein vorstellig, der damals das Mathematische Institut in Göttingen zu einem weltweit führenden Zentrum aufbaut. Professor Klein erkennt sofort die Mittelmäßigkeit des Studenten und gibt ihm – um ihn sich vom Leibe zu halten – eine anscheinend unmöglich zu lösende Aufgabe: Er solle doch bitte die vollständige Konstruktion eines regelmäßigen 65537-Ecks ausarbeiten!

Die Herausforderung ist ebenso gewaltig wie absurd. »Regelmäßig« bedeutet in diesem Zusammenhang, dass alle Kanten des 65.537-Ecks gleich lang sein müssen, und konstruiert werden soll das Ganze natürlich im Sinne der euklidischen Geometrie, also nur mit Zirkel und Lineal.

Falls aber der eifrige junge Mann sich daran versuchen wolle, dann sei das mit der Promotion geritzt. Nun vergehen zehn lange Jahre, der Vorfall ist längst vergessen, als der Student sich plötzlich wieder bei Klein meldet. Er präsentiert dem verdutzten Professor einen eigens angefertigten Koffer, in dem sich auf Hunderten großformatigen Blättern die Lösung befindet. Und Klein kann nun nicht anders, als ihm den Doktortitel zu verleihen – einen Dr. phil. für eine eindrucksvolle Fleißarbeit.

Eine hübsche Geschichte. Aber wie es bei Anekdoten so ist: Ein Drittel stimmt, ein Drittel stimmt nicht ganz, und ein Drittel ist falsch. Richtig ist: Den eifrigen jungen Mann gab es wirklich, er hieß Johann Gustav Hermes. Und Felix Klein lehrte seit 1886 als Professor in Göttingen. Selbst der Koffer mit dem gewichtigen Papierstapel existiert. Er wird heute als Kuriosum am Mathematischen Institut in der Göttinger Bunsenstraße aufbewahrt.

65537-Eck oder Kreis? Erst bei einer Skalierung auf über eine
Milliarde Pixel Durchmesser wäre der Unterschied erkennbar.
(C) NilsB, CC-by-SA 3.0, Downloads von Wikipedia

Die Relevanz des Koffers für den Fortschritt der Mathematik strebt gegen null. Denn dass die Konstruktion eines Polygons mit 65.537 Ecken möglich ist, hatte schon Carl Friedrich Gauß nachgewiesen. Populär formuliert, lautet die Fragestellung: Wie teile ich eine Torte in n gleich große Teile? Überraschend dabei ist, dass sich nicht alle n-Ecke mit euklidischen Mitteln konstruieren lassen, etwa das 7-Eck oder das 9-Eck.

Im Jahre 1796 erkannte der 18-jährige Gauß, dass die Konstruktion des 17-Ecks möglich ist. Ein echter Geniestreich. In seinen Disquisitiones Arithmeticae von 1801 löste Gauß das Problem der konstruierbaren Polygone schließlich generell. Unter anderem stellte er so auch heraus, dass ein regelmäßiges n-Eck mit primer Eckenzahl größer als 2 genau dann nur mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn n eine Fermatsche Primzahl ist, also eine Primzahl der Form \(2^{2^p}+1\).

Von diesen Zahlen, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat, sind bis heute nur fünf bekannt. Man erhält sie, wenn man für p die Zahlen 0, 1, 2, 3 und 4 einsetzt. Daraus ergeben sich dann die 3, die 5, die 17, die 257 und die 65537 als Fermatsche Primzahlen. Schon die nächste Zahl, die nach dem genannten Schema gebildet wird, die 4.294.967.297, ist durch 641 teilbar, also keine Primzahl mehr. Bislang ist es trotz Hochleistungscomputern nicht gelungen, weitere Fermatsche Primzahlen zu finden. Bleibt also die 65.537 als bisher größte bekannte.

Drei Jahrzehnte nach Gauß veröffentlichte der Königsberger Mathematiker Friedrich Julius Richelot eine 84 Seiten lange lateinische Abhandlung über die Konstruktion des 257-Ecks. Ein Blick darauf verdeutlicht, dass mit »Konstruktion« nicht etwa das tatsächliche Zeichnen des exorbitanten Vielecks gemeint ist.. Zwar kann man ein 17-Eck, wenn man einen ausreichenden Maßstab wählt und sich sehr gut konzentriert, tatsächlich noch per Hand zeichnen. Bei einem 257-Eck, das für das menschliche Auge schon wie ein Kreis aussieht, ist so eine Konstruktion praktisch nicht mehr durchführbar. Aber Gauß hatte vor Richelot vor allem eines geleistet: die Übersetzung des geometrischen Problems der Kreisteilung in die Algebra.

Doch dann trat Johann Gustav Hermes auf den Plan. 1872 legte er sein Staatsexamen in Mathematik ab und ging danach in den Schuldienst. Nebenbei promovierte er 1879 in Königsberg mit einer kleinen, noch recht unverbindlichen Arbeit zum Problem der Kreisteilung. Seine Dissertation hatte jedenfalls noch nichts mit dem Koffer zu tun und auch nicht mit Göttingen, obwohl sich dieses Gerücht hartnäckig hält.

Die Doktorarbeit ist für Hermes jedoch auch nur die Vorarbeit für ein viel abenteuerlicheres Projekt, das er am 4. November 1879 beginnt: sein Diarium zur Kreisteilung. Zehn Jahre lang wird er daran arbeiten, 1889 ist er fertig. Die letzte beschriebene Seite trägt die Nummer 221. Er lässt den Papierstoß binden und jenen berühmten Spezialkoffer anfertigen, auf dem mit großen Buchstaben die Kennung »J. Hermes« geschrieben steht.

Vollständig nachgerechnet hat Hermes’ Kofferkonvolut bisher niemand. Wozu auch? Wenn man wollte, könnte man heute die Konstruktion recht problemlos mit einem Computer programmieren.

Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie unter Zeit.de.

jb