Beweis der Binomialformel
Hier geht es, ergänzend zum Artikel über die Binomial- und die Multinomialformel, um den Beweis der Binomialkoeffizientenrekursion und der Binomialformel:
Binomialkoeffizientenrekursion
Zunächst beweisen wir die Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten,
sie besagt, dass für natürliche Zahlen n und k mit
0 ≤ k ≤ n stets
\[
{n \choose k} = {n-1\choose k-1} + {n-1\choose k}
\]
gilt. Das ist genau die Aussage, dass man im
Pascalschen Dreieck
jeden Eintrag im Inneren durch Addition der darüber stehenden Einträge erhält. Diese
Formel kann man mit Hilfe der Definition der Binomialkoeffizienten einfach nachrechnen:
Es seien n, k natürliche Zahlen mit 0 ≤ k ≤ n, dann gilt:
\[
\begin{array}{rcl}\displaystyle
{n\choose k} &=& \frac{n!}{(n-k)!k!}\\
&=& \frac{n \cdot (n-1)!}{(n-k)!k!}\\
&=& \frac{k \cdot (n-1)!}{(n-k)!k!} + \frac{(n-k)(n-1)!}{(n-k)!k!}\\
&=& \frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(n-k-1)!k!}\\
&=& {n-1\choose k-1} + {n-1 \choose k}
\end{array}
\]
Das war aber zu zeigen.
zurück zum Artikel über die Binomialformel
Binomialformel
Mit Hilfe der Binomialkoeffizientenrekursion und vollständiger Induktion können wir nun die Binomialformel beweisen, d.h. wir zeigen, dass für reelle Zahlen a und b und natürliches n stets gilt:
Seien also a, b gegeben, wir beweisen durch Induktion nach n:
- Induktionsanfang:
Für n = 0 ist die Behauptung wahr, denn
- Induktionsvoraussetzung:
Es sei nun n > 0 und die Behauptung sei für n-1 bereits bewiesen, d.h. es gelte
- Induktionsschluss:
Wir erhalten unter Anwendung der Induktionsvoraussetzung und der Binomialkoeffizientenrekursion, dass
Damit ist die Binomialformel bewiesen.
Binomialformel mit JavaSkript anwenden
Hier kann man sich unter Anwendung der Binomialformel die ausmultiplizierte Form von (a+b)n oder (a-b)n in einem extra Fenster anzeigen lassen.
Man beachte:
- Für n bitte eine positive natürliche Zahl eingeben.
- Bis n = 73 können alle Vorfaktoren exakt berechnet werden.
- Für große n kann die Berechnungszeit je nach verwendeter Hardware ziemlich lang dauern.
