Binomial- und Multinomialformel

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Zunächst einmal ein paar Worte vorweg:

Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Binomial- und der Multinomialformel, dies sind Verallgemeinerungen der aus der Schule bekannten binomischen Formeln. Falls Sie nur Information zu diesen suchen, so wird Ihnen hier geholfen.
Um diesen Artikel zu lesen, sollten Sie mindestens wissen, was die Fakultät einer natürlichen Zahl ist, und wie ein Summenzeichen zu lesen ist, da wir diese Begriffe hier nur kurz anschneiden werden.

Inhaltsübersicht

Binomialformel
- Die Formel
- Für kleine Exponenten
- mit JavaSkript anwenden
- Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck
- Pascalsches Dreieck mit JavaSkript erzeugen
- Beweis der Formel (anderer Artikel!)
Multinomialformel
- Die Formel
- Für kleine Exponenten und wenig Summanden
- Multinomialkoeffizienten und eine Rekursionsformel
- Beweis der Formel (anderer Artikel!)
Anwendungsbeispiele für beide Formeln
Links zum Thema

Problem

Es ist ein Ausdruck der Form

mit reellen Zahlen a und b und einem natürlichen Exponenten n zu berechnen, oder noch allgemeiner ein Ausdruck der Form

mit reellen a₁, ..., a_m.

Lösung

Eigentlich ist es ganz leicht, man muss sich nur zwei Formeln merken. Für beide der obigen Probleme gibt es eine Formel, hier soll es auch darum gehen, wie man auf diese Formel kommt, und es wird Links zu Beweisen dieser Formeln geben.

Die Binomialformel (zum ersten Problem)
Zunächst einmal (Schock), die Formel lautet: Zur Erläuterung der verwendeten Schreibweisen:
- Summenzeichen
  Das Summenzeichen steht, wie versucht wurde anzudeuten, für eine Summe von (n + 1) Ausdrücken der Form rechts vom Summenzeichen, wobei für k nacheinander die (n + 1) Zahlen 0,..., n einzusetzen sind, für n = 2 ist zum Beispiel
- k!, Fakultät
  Für eine positive natürliche Zahl k bezeichnet k! (gelesen: k Fakultät) das Produkt aller Zahlen von 1 bis k.
  So ist zum Beispiel Achtung: Es wird definiert:
  0! = 1
Die Zahl \( \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \), die als Koeffizient des a-b-Termes auftritt, taucht in der Mathematik noch an vielen anderen Stellen auf, daher hat sie einen eigenen Namen, sie heißt Binomialkoeffizient (natürlich deswegen, weil sie als Koeffizient in der Binomialformel auftrifft), und ein eigenes Symbol, man schreibt und liest n über k.
Mit dem folgenden JavaSkript-Programm kann man sich die Binomialkoeffizienten für verschiedene n und k berechnen. Wichtig ist, dass n und k positive Ganzzahlen mit \(n \geq k \) sind. Da die Binomialkoeffizienten sehr schnell sehr groß werden, ist die Eingabe auf dreistellige Zahlen begrenzt.

( )

Damit schreibt sich die Binomialformel nun als
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Binomialformel für "kleine" n

Ausgerüstet mit diesem Wissen wollen wir nun die Binomialformel für die ersten natürlichen Zahlen einmal ausrechnen (wer wissen will, wie man die Binomialformel beweist, findet hier einen Beweis mit vollständiger Induktion):
- Für n = 2 sollten wir, wenn alles stimmt, die gewöhnliche binomische Formel aus der Schule erhalten, und tatsächlich:
- Für n = 3 ist das Ganze schon interessanter, wir erhalten die Formel
- Als Letztes wollen wir noch die Formel für n = 4 berechnen, es ist
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Binomialformel mit JavaSkript anwenden

Hier kann man sich unter Anwendung der Binomialformel die ausmultiplizierte Form von (a+b)ⁿ oder (a-b)ⁿ in einem extra Fenster anzeigen lassen.

Man beachte:
- Für n bitte eine positive natürliche Zahl eingeben.
- Bis n = 73 können alle Vorfaktoren exakt berechnet werden.
- Für große n kann die Berechnungszeit je nach verwendeter Hardware ziemlich lang dauern.
(a b)

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Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck

Das ist ja alles schön und gut mit der Formel, aber wie merkt man sich die Koeffizienten. Es erscheint im Allgemeinen schwierig, diese Zahlen zu berechnen, geschweige denn, sie sich zu merken ..., das liegt aber (wie oft) nur daran, das man sie nicht "hinreichend geschickt" betrachtet, wir wollen sie einmal in anderer Form notieren, um eine Struktur zu erkennen:

Noch sieht man nicht viel, wenn wir aber die Koeffizienten ausrechnen, ergibt sich:

Nun sollten (hoffentlich) zwei Dinge auffallen:
- am Rand stehen nur Einsen
- jede Zahl ist die Summe der beiden über ihr stehenden.
In Formeln ausgedrückt heißt das

Dass dies wirklich stimmt, kann man natürlich auch nachrechnen, wer mag, kann dies hier nachlesen.
Das Pascalsche Dreieck bietet also eine angenehme Möglichkeit, Binomialkoeffizienten zu berechnen, und die abgelesene Beziehung bietet auch die Möglichkeit einer effizienten numerischen Bestimmung der Koeffizienten mit dem Rechner, mehr dazu hier. Dieser Algorithmus ist insbesondere im folgenden JavaSkript Programm zur Darstellung des Pascalschen Dreiecks umgesetzt.

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Pascalsches Dreieck mit JavaSkript erzeugen

Hier kann man sich dass Pascalsche Dreieck bis zur Zeile n in einem extra Fenster erzeugen lassen.
Man beachte:
- Bis n = 73 können alle Einträge exakt berechnet werden.
- Für n > 15 wird das Dreieck ziemlich groß.
- Für große n kann die Berechnungszeit je nach verwendeter Hardware ziemlich lang dauern.
n =

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Die Multinomialformel (Formel zum zweiten Problem):
Auch hier gibt es wieder eine Formel zur Lösung des Problems, allerdings hat sie eine noch abschreckendere Form als die Binomialformel, sie lautet:

Wieder wollen wir kurz die von uns verwendeten Schreibweisen erläutern:
- Neu im Vergleich zu den Schreibweisen für die Binomialformel ist nur das Summenzeichen mit dem komplizierten Subscript. Das Zeichen
  bedeutet hierbei Folgendes: Der Term rechts des Summenzeichens ist so oft zu notieren, wie es Tupel (k₁, ..., k_m) natürlicher Zahlen mit den Eigenschaften 0 <= k₁, ..., k_m <= n und k₁ + ... + k_m = n gibt. Dabei ist für die im Term auftretenden Vorkommenden k₁, ..., k_m jeweils der aktuelle Wert einzusetzen, ein Beispiel mit m, n = 3:
Obwohl die Koeffizienten

nicht an so vielen Stellen auftauchen wie die Binomialkoeffizienten, haben sie dennoch einen Namen und ein eigenes Symbol. Sie heißen (das sollte nicht wirklich überraschen) Multinomialkoeffizienten und werden als

geschrieben, die Multinomialformel lautet dann

Um die Multinomialformel etwas zu erläutern, wollen wir sie für einige kleine m,n wieder ausrechnen (wer einen Beweis durch vollständige Induktion sehen möchte, kann ihn hier nachlesen).

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Multinomialformel für "kleine" m,n
- Zunächst wollen wir den Fall m = 2 für allgemeines n betrachten, hier sollte sich die bekannte Binomialformel (s.o.) ergeben und in der Tat, es ist doch
  Nun gibt es aber zu einem festen k₂ genau ein k₁ mit k₁ + k₂ = n, nämlich (man löse einfach nach k₁ auf) k₁ = n - k₂, damit wird die Formel zu berücksichtigen wir nun noch, dass so erhalten wir, wenn wir für k₂ der Übersichtlichkeit halber k schreiben: und damit tatsächlich die Binomialformel.
- Für m = 3 wird es eigentlich erst neu, wir erhalten für n = 2:
- Als letzes Beispiel wollen wir noch einmal m = 3, diesmal aber mit n = 3 betrachten, wir erhalten
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Multinomialkoeffizienten und eine Rekursionsformel

Für die Binomialkoeffizienten hatten wir doch mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks eine Rekursionsformel hergeleitet, die uns eine einfachere Berechnung der Binomialkoeffizienten ermöglichte. Hier soll nun der Frage nachgegangen werden, ob es für die Multinomialkoeffizienten etwas Ähnliches gibt.
Zunächst ist es leider für m > 3 aussichtslos, eine dem Pascalschen Dreieck nachempfundene anschauliche Darstellung einer solchen Formel zu geben, für m = 3 jedoch kann man tatsächlich eine solche "Pascalsche Pyramide" darstellen, wir haben es hier einmal versucht:

Und jetzt mit den berechneten Zahlen:

Wieder gilt:
- Alle Koeffizienten auf dem Rand sind Eins.
- Jeder Eintrag ist Summe der drei über ihm stehenden Koeffizienten.
und wir lesen daraus ab, dass

und

Für n > 3 gibt es analoge Formeln, es gilt

und

Ein Beweis (der einfach im Nachrechnen besteht) findet sich hier.
Eine solche Rekursionsformel bietet dieselben Vorteile wie die analoge Formel für die Binomialkoeffizienten.

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Beispiele

Hier wollen wir keine Rechenbeispiele für die Binomial- und Multinomialformel geben, sondern einige Situationen darstellen, in denen die Formeln von Nutzen sein können:

Aussagen über Binomialkoeffizienten finden:
Aussagen über Binomialkoeffizienten kann man oft, anstatt eine aufwändige vollständige Induktion zu führen, auf eine einfache Anwendung der Binomialformel reduzieren:
Betrachten wir etwa die Aufgabe, die Summe zu berechnen. Eine Berechnung der ersten Werte legt die Vermutung nahe, dass das könnte man jetzt einfach nachrechnen, oder per Induktion beweisen, wir wollen aber die Binomialformel anwenden: Mit der Beobachtung, dass 2 = 1 + 1 ist, finden wir und das war zu zeigen.
Noch ein weiteres Beispiel: Es ist denn
Ähnliches ist natürlich auch mit der Multinomialformel für die Multinomialkoeffizienten möglich, so ist zum Beispiel
enau wie oben beweist:
Zuletzt noch ein Beispiel aus der Algebra: Sei p eine Primzahl und a sowie b seien natürliche Zahlen. (für m = 2 wird das zur obigen Summe der Binomialkoeffizienten), was man gWir behaupten, dass durch p teilbar ist.
Nun, zunächst ist doch es reicht uns also (hier liegt der Nutzen der Binomialformel!) zu zeigen, dass Dieses ist aber klar, denn: Es ist doch und der Nenner enthält keinen Faktor p, d.h. auch die Primzerlegung des Nenners nicht. Da aber der Zähler ein Vielfaches von p ist, folgt, dass der ganze Bruch ein Vielfaches von p ist, was zu zeigen war.