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erste bis dritte binomische Formel

Binomische Formeln, was ist das? Da habe ich doch schon mal etwas gehört, da ... kurz: Eine binomische Formel muss angewandt werden, oder man möchte noch einmal rekapitulieren, worum es dabei eigentlich ging.
Dieser Artikel beschäftigt sich mit den in der Schule behandelten sog. binomischen Formeln, wenn Sie Informationen zur Binomial- oder Multinomialformel suchen, sind Sie hier besser aufgehoben.

Zunächst einmal, warum eigentlich binomische Formel? Nun, in diesen Formeln geht es um Ausdrücke der Form (a+b), also Summen von zwei Termen und bi- kommt von lateinisch bini "je zwei".

"Die" binomischen Formeln

Wie versprochen, soll es hier um die binomischen Formeln aus der Schule gehen, sie lauten:

Zunächst einmal, warum gelten diese Formeln eigentlich? Nun, man kann sie mit Hilfe des Distributivgesetzes, d.h. durch einfaches Ausmultiplizieren nachrechnen:

Und wozu braucht man sie? Hier einige Anwendungsbeispiele (wir erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit, wenn ein Ihrer Meinung nach wesentliches Beispiel fehlt, schreiben Sie uns! (mail[at]mathematik.de)):

Beispiele

  • Berechnen von Quadraten: Quadratzahlen wie 982 oder 1.0032 sind an sich nur recht aufwändig zu berechnen, bedient man sich jedoch eines kleines Tricks und berücksichtigt, dass 98 = 100 - 2 und 1.003 = 1.000 + 3, so gelangt man durch Anwendung der binomischen Formeln zwei und eins und einer leichteren Rechnung sehr schnell zum gesuchten Ergebnis:
    Das ging doch wirklich schneller, oder?
    Hier noch einige weitere Rechenbeispiele:
  • Berechnung von Produkten: Mit demselben Trick wie im vorigen Beispiel und der dritten binomischen Formel kann man Produkte auf die Berechnung von Quadraten zurückführen, zum Beispiel ist
  • Um die "richtigen" a und b zu finden, geht man wie folgt vor: Wenn wir 53 mal 47 berechnen wollen, so ist doch unser Ziel a und b so zu wählen, dass 53 = a+b und 47 = a-b. Addieren wir diese Gleichungen, so folgt (vgl. auch den Artikel zu linearen Gleichungssystemen) durch Addition der beiden Gleichungen, dass

  • also muss a = 50 sein und damit b = 3.
    Es kann vorkommen, dass man die zu berechnenden Quadrate mit dem Trick aus dem vorigen Beispiel noch leichter berechnen kann, wie zum Beispiel in 107 mal 95: Wir haben zunächst wie oben, dass
    also a = 101 und damit b = 6, also ist
    Noch ein letztes Beispiel: Wir wollen 999 mal 997 berechnen, es ist
  • Nun zu einer etwas anderen Anwendung: Die binomischen Formeln können auch einfach dafür verwandt werden, um Ausdrücke wie zum Beispiel
    zu vereinfachen. Leider gibt es dafür kein Patentrezept, man muss durch "geschicktes Hinsehen" sehen, was man tun kann: Hier kann man doch im Zähler x ausklammern, es ist
    Nun (wie gesagt, ein Patentrezept gibt es nicht) muss man sehen, dass der Zähler gerade (x+2)2 ist, denn es ist ja
    man erhält also weiter
    und unser Term ist doch (ganz schön) vereinfacht, oder nicht?
    Noch ein weiteres Beispiel zur Termvereinfachung:
    Durch "geschicktes Hinsehen" kann man den Ausdruck zunächst umformen
    Nun kann man im Zähler die erste und im Nenner die dritte binomische Formel anwenden und erhält:
  • Das letzte Beispiel, das wir für die Verwendung der binomischen Formeln geben möchten, ist ähnlich dem vorigen, betrifft jedoch konkrete Zahlen. Es geht um die "Verschönerung" von Wurzelausdrücken, um die Rationalisierung von Nennern:
    Betrachte etwa
    in dieser Form lässt sich mit der Zahl nur schwer weiterrechnen. Einfacher wäre es doch, wenn im Nenner keine Wurzel mehr auftauchte, aber wie soll man das erreichen: Nun ganz einfach, durch Erweitern unter Berücksichtigung der dritten binomischen Formel, der Trick dabei ist, dass das Quadrat einer Wurzel doch gerade der Radikand (das ist die Zahl unter dem Wurzelzeichen) ist, es ist
    Also erhalten wir für unseren Bruch
    und damit lässt sich doch schon besser rechnen.
    Noch ein Beispiel, wir betrachten
    hier müssen wir also mit (einfach das Zeichen im Nenner umdrehen!) \((\sqrt{3}-1) \) erweitern und erhalten

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