Banner der Website mathematik.de. Motiv: Überall ist Mathematik

Ableitungsregeln

Das Problem

Ableitungen werden den meisten aus der Schule im Zusammenhang mit Kurvendiskussionen bekannt sein. Aber auch in anderen Situationen, wie z.B. in der Physik, werden Ableitungen gebraucht. So ist z.B. der Weg abgeleitet nach der Zeit die Geschwindigkeit. Den meisten wird wohl klar sein, wie man eine relativ einfache Funktion wie z.B. \( f(x)=x^4 \) ableitet. Hier ist die Ableitung \( f\ ^'(x)=4 \ x^3 \).
Schwieriger wird es jedoch bei komplizierteren Funktionen. Wie differenziert man etwa Funktionen wie \( f(x)=(x^3-5)^8 \) oder \( f(x)=e^{\sin x}+12 \ x^7 \)?

Die Lösung

Bei den oben genannten schwierigeren Aufgaben handelt es sich um Funktionen, die man in wieder einzelne Funktionen zerlegen kann. Um diese Funktionen nun zu differenzieren, muss man beachten, wie sie zusammengesetzt sind. Dann kann man eine der folgenden Regeln anwenden:

  1. Wenn die Funktion aus der Addition von zwei oder mehreren Funktionen hervorgeht, d.h. von der Form \( f(x)+g(x) \) ist (wie z.B. \( x^4+x^2 \) ), dann folgt: \[ (f+g) \ ^'(x) = f \ ^'(x) + g \ ^'(x) \] Also im Beispiel: \( (f+g) \ ^'(x)=4\ x^3 + 2\ x \).
  2. Wenn die Funktion mit einem Skalar multipliziert ist, d.h. von der Form \( a\cdot f(x) \) ist, dann gilt für die Ableitung: \[ (a\cdot f) \ ^'(x) = a\cdot f \ ^'(x) \] Als Beispiel betrachte man \( 5\cdot x^6 \). Hier lautet die Ableitung \( 5\cdot6 \ x^5 = 30 \ x^5 \).
  3. Produktregel: Wenn eine Funktion von der Form \( f(x)\cdot g(x) \), wie etwa \( 4 \ x^5 \cdot 3 \ x^2 \) ist, dann benutzt man zum Differenzieren die folgende Formel: \[(f\cdot g)\ ^'(x) = f \ ^'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g \ ^'(x) \] Im Beispiel: \( (f\cdot g) \ ^'(x) = 20 \ x^4 \cdot 3\ x^2 + 4 \ x^5 \cdot 6 \ x = 60 \ x^6 + 24 \ x^6 = 84 \ x^6 \).
  4. Kettenregel: Wenn die Funktion von der Form \( g\bigl(f(x)\bigr) \), wie z.B. \( (x^4+3)^2 \) ist, dann muss man wie folgt ableiten: \[ \Bigl(g\bigl(f(x)\bigr)\Bigr)^' = g\ ^' \bigl(f(x)\bigr)\cdot f\ ^'(x) \] Also: \( \Bigl(g\bigl(f(x)\bigr)\Bigr)^' = 2\ (x^4 + 3)\cdot 4\ x^3 = 8\ x^3 \cdot (x^4 + 3) = 8\ x^7 + 24\ x^3 \).
  5. Quotientenregel: Wenn eine Funktion von der Form \( \frac{f(x)}{g(x)} \), wie etwa \( \frac{4\ x^5}{3\ x^2} \) ist, dann benutzt man zum Differenzieren die folgende Formel: \[ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^' = \frac{f\ ^'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g\ ^'(x)}{g^2(x)} \] Also: \( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^' = \frac{20\ x^4 \cdot 3\ x^2 - 4\ x^5 \cdot 6\ x}{9\ x^4} = \frac{60\ x^6-24\ x^6}{9\ x^4} = \frac{36\ x^6}{9\ x^4} = 4\ x^2 \).

Zudem kommen bei schwierigeren Aufgaben auch spezielle Funktionen, wie z.B. der die Exponentialfunktion und der Sinus vor. Für diese speziellen Funktionen gibt es eigene Ableitungsregeln, die man einfach lernen muss. Diese sind wie folgt:

  • Sinus: \[ \Big(\sin(x)\Big)^' = \cos(x) \]
  • Cosinus: \[ \Big(\cos(x)\Big)^' = -\sin(x) \]
  • Exponentialfunktion: \[ \Big(\exp(x)\Big)^' = \left(e^x\right)^' = e^x \]
  • Logarithmusfunktion: \[ \Big(\ln(x)\Big)^' = \frac{1}{x}, \ \forall \ x \in \R^+ \]

Beispiele

Zunächst betrachten wir die schon zuvor erwähnten Funktionen aus der Einleitung und danach gibt es noch zwei weitere Beispiele:

  • 1. \[(x^3-5)^8:\] Hier ist die Kettenregel anzuwenden. Zunächst müssen wir die einzelnen Funktionen identifizieren: \[ f(x)=x^3-5, \qquad g(x) = x^8 \] Nun können wir diese einzeln ableiten und es gilt somit: \[ f\ ^'(x) = 3\ x^2, \qquad g\ ^'(x) = 8\ x^7 \] Folglich erhalten wir als Ergebnis aufgrund der Kettenregel: \[ \begin{array}{rcl} \Bigl(g\bigl(f(x)\bigr)\Bigr)^' & = & g\ ^'\bigl(f(x)\bigr)\cdot f\ ^'(x) \\ & = & 8\ (x^3-5)^7\cdot 3\ x^2 \end{array}\]
  • 2. \[ e^{\sin x} + 12\ x^7: \] Hier ist mehr zu beachten, und zwar haben wir hier neben Punkt 1, 2 und der Kettenregel auch zu berücksichtigen, dass wir zum Teil spezielle Funktionen verwenden. Um die Kettenregel wie zuvor anwenden zu können, müssen wir erneut die einzelnen Funktionen dafür identifizieren: \[ f(x) = \sin x, \qquad g(x) = e^x\] Somit gilt für die Ableitungen: \[ f\ ^'(x) =\cos x, \qquad g\ ^'(x) = e^x \] Somit erhalten wir dafür insgesamt \[ \left(e^{\sin x}\right)^' = \cos(x) \cdot e^{\sin x}. \] Wenn wir nun noch Punkt 1 und 2 beachten, erhalten wir insgesamt: \[ \left(e^{\sin x}+12\ x^7\right)^' = \cos(x)\cdot e^{\sin x}+84\ x^6 \]
  • 3. \[ 12\ x^2\cdot \cos x:\] Hierbei benötigen wir die Produktregel und müssen beachten, dass wir auch eine spezielle Funktion haben und einmal auch Punkt 2 anwenden. Um die Produktregel anzuwenden, identifizieren wir wieder die einzelnen Funktionen: \[ f(x) = 12\ x^2, \qquad g(x) = \cos x \] Nun müssen wir diese einzeln ableiten: \[ f\ ^'(x) = 24\ x, \qquad g\ ^'(x) = -\sin x \] Die Anwendung der Produktregel ergibt insgesamt: \[ \begin{array}{rcl} \left(f(x)\cdot g(x)\right)^' & = & f\ ^'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g\ ^'(x) \\ & = & 24\ x \cdot \cos x + 12\ x^2\cdot (-\sin x) \\ & = & 24\ x \cdot \cos x - 12\ x^2 \cdot \sin x \end{array} \]
  • 4. \[ \frac{\sin x}{x^2}: \] Hier muss man die Quotientenregel anwenden. In diesem Fall kann man die einzelnen Funktionen leicht identifizieren: \[ f(x)=\sin x, \qquad g(x)=x^2 \] Somit gilt für die Ableitungen: \[ f\ ^'(x)=\cos x, \qquad g\ ^'(x)=2\ x \] Wir erhalten insgesamt mit Verwendung der Quotientenregel: \[ \begin{array}{rcl} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^' & = & \frac{f\ ^'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g\ ^'(x)}{g^2(x)} \\ & & \\ & = & \frac{\cos(x)\cdot x^2-\sin(x)\cdot 2\ x}{x^4} \end{array} \]

Links

Hier finden Sie Links zu Seiten zum Thema Differentiation. Sie haben eine Seite zum Thema Kurvendiskussion, die hier noch nicht auftaucht? Schreiben Sie uns! (mail[at]mathematik.de)