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Dreisatz

Das Problem

Zunächst einmal, warum heißt der Dreisatz Dreisatz? Eigentlich wissen wir das auch nicht so genau, aber es könnte daran liegen, dass man eine typische Lösung eines Dreisatzproblems in drei Sätzen formulieren und notieren kann.
Worum geht es nun bei einem typischen Dreisatzproblem? Ein Dreisatzproblem ist dann gegeben, wenn eine Größe (die Zielgröße) antiproportional oder proportional von einer oder mehreren anderen Größen abhängt und man den Wert der Zielgröße für feste Werte der anderen Größen kennt und man nun den Zielwert für andere Werte berechnen soll.

Was heißt nun aber proportional oder antiproportional? Man sagt, dass zwei Größen proportional voneinander abhängen, wenn, multipliziert man die eine mit einem Faktor, sich auch die andere entsprechend verändert, also mit demselben Faktor multipliziert. Ein Beispiel dafür ist z.B. die geleistete Arbeit und die Arbeitszeit (arbeitet man doppelt, dreimal, ... so lang, so schafft man auch doppelt, dreimal, ... so viel). Nachfolgend ist zur Veranschaulichung noch einmal der Graph einer solchen Abhängigkeit eingefügt:

Man spricht von Antiproportionalität zweier Größen, falls, multipliziert man die eine mit einem Faktor, die andere durch diesen Faktor geteilt werden muss. Ein Beispiel ist hier (bei gleichbleibender Arbeitsleistung) die Arbeitszeit und die Arbeitsgeschwindigkeit (denn: arbeitet man doppelt, dreimal, ... so schnell, so muss man nur halb, ein drittel, ... so lang arbeiten, um das gleiche Pensum zu schaffen). Und auch hier ist noch einmal der Graph einer solchen Abhängigkeit:

Die Lösung

Zunächst muss man sich klarmachen, welche Größen proportional und welche antiproportional von der Zielgröße abhängen. Dann rechnet man nacheinander alle anderen Größen auf den Zielwert um, wobei man die Zielgröße entsprechend der (Anti-)Proportionalität verändert. Konkret heißt das Folgendes: Man sucht sich für die Ausgangsgröße den benötigten Faktor durch Division und führt an der Zielgröße die entsprechende Umrechnung durch. Hat man dies für alle Größen gemacht, so ist man fertig.

Beispiele

  • Wenn 12 Kranke von 12 Schwestern und Pflegern in 24 Stunden versorgt werden können, wie lange brauchen dann 4 Schwestern und Pfleger, um 120 Kranke zu versorgen?

    Die Zielgröße ist hier offensichtlich die Arbeitszeit. Die Arbeitszeit hängt aber proportional von der Anzahl der Kranken (doppelt so viel Kranke, doppelt so lange zu tun) und antiproportional von der Anzahl der Schwestern und Pfleger (doppelt so viele Leute, halb so lange zu tun) ab. Also ergibt sich:

    12 Schwestern pflegen 12 Kranke in 24 Stunden.
    \(4 = 12 \cdot \mathbf{\frac 13} \) Schwestern pflegen 12 Kranke in \(\frac{24}{\mathbf{\frac 13}} = 72\) Stunden.
    4 Schwestern pflegen 120 = 12 · 10 Kranke in 72 · 10 = 720 Stunden.

  • Wenn zwei Schafe an einem Tag 20 kg Gras fressen, wieviel Gras fressen dann 12 Schafe in 3 Stunden?

    Zielgröße ist hier die Menge des gefressenen Grases, diese hängt sowohl von der Anzahl der Schafe als auch von der Dauer des Fressens proportional ab. Man hat hier also:

    2 Schafe fressen an 1 Tag = 24 Stunden 20 kg Gras.
    12 = 2 · 6 Schafe fressen in 24 Stunden 20 · 6 = 120 kg Gras.
    12 Schafe fressen in \(3 = 24 \cdot \mathbf{\frac 18}\) Stunden \(120 \cdot \mathbf{\frac 18} = 15\) kg Gras.

    • Also fressen 12 Schafe in 3 Stunden 15 kg Gras.

  • Als abschließendes Beispiel noch eines, in dem mehr als drei Größen eine Rolle spielen:
    Wenn 2 Schneepflüge in 3 Stunden 12 Kilometer einer 4 Meter breiten Straße von Schnee befreien können, wie lange brauchen dann 10 Schneepflüge für einen Kilometer einer 12 Meter breiten Straße?

    Also: Zielgröße ist die Arbeitszeit, diese hängt proportional von der Länge und der Breite der Straße ab und antiproportional von der Anzahl der Schneepflüge. Man hat also:

    2 Schneepflüge, 12 km lang, 4 m breit, 3 Stunden.
    10 = 2 · 5 Schneepflüge, 12 km lang, 4 m breit, \( \frac{3}{\mathbf 5} = \frac 35\) Stunden.
    10 Schneepflüge, \(1 = 12 \cdot \mathbf{\frac{1}{12}}\) km lang, 4 m breit, \( \frac 35 \cdot \mathbf{\frac{1}{12}} = \frac{1}{20}\) Stunden.
    10 Schneepflüge, 1 km lang, 3 · 4 = 12 m breit, \( \mathbf{3} \cdot \frac{1}{20} = \frac{3}{20}\) Stunden.

    • Die Schneepflüge brauchen also 9 Minuten.

Programm zum Dreisatz

Hier kann man noch einmal den Dreisatz üben. Als erstes wählt man aus, von vievielen Größen die Zielgröße abhängen soll. Dann klickt man bei den Radio-Buttons an, ob die jeweilige Größe die Zielgröße proportional oder antiproportional beeinflusst. Dann füllt man alle Textfelder entsprechend mit den Werten aus bis auf das untere Textfeld in der Spalte Zielgröße, in dem das gesuchte Ergebnis nach dem Klick auf den Button "fehlende Zielgröße berechnen" angezeigt wird. Es kann auch eine Aufgabe zufällig generiert werden.


Man beachte:

  • Dezimalzahlen mit Punkt eingeben.
  • Bitte nur positive Zahlen eingeben.
  • Im unteren Textfeld in der Spalte Zielgröße wird das gesuchte Ergebnis angezeigt.

Zielgröße hängt von ab.
 
Größe 1
prop.: antiprop.:
Größe 2
prop.: antiprop.:
Zielgröße
 
Zielgröße in Abhängigkeit
von Größe/n bekannt:
Zielgröße in Abhängigkeit der
geänderten Größe/n gesucht:


Links

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