Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung

Das Problem

Das Problem bei den Extremwertaufgaben besteht darin, eine Größe extrem groß (maximal) bzw. extrem klein (minimal) zu bekommen. Die Komplexität dieser Aufgaben erklärt sich zum kleineren Teil aus der Kenntnis oder Nichtkenntnis der elementaren Zusammenhänge von Funktion, Ableitung und Nullstellen bzw. Vorzeichen von Ableitungen. Die größeren Schwierigkeiten bereiten die Aufgabenstellungen selbst. Extremwertaufgaben sind meistens Textaufgaben, die zuerst verstanden werden müssen. Die Anwendung der Methoden der Differentialrechnung ist erst möglich, wenn die Aufgabe in ein geeignetes mathematisches Modell übersetzt worden ist.

Die Lösung

Extremwertaufgaben, die als Textaufgaben formuliert sind, werden in folgenden Schritten gelöst:
1. Stelle die Aufgabensituation, wenn möglich, in einer Skizze dar.
2. Schreibe auf, was gegeben und was gesucht ist. Gib den Ausgangsgrößen und Unbekannten passende Namen (a, x, q, A, F, V usw).
3. Erkenne die Zielfunktion und formuliere sie als mathematische Funktion in Abhängigkeit von den Ausgangsgrößen und Unbekannten.
4. Erkenne die Nebenbedingung. Die Wahl der zu bestimmenden Größen muss durch die Aufgabe in irgendeiner (evtl. versteckten) Weise eingeschränkt sein. Formuliere die Nebenbedingung als mathematischen Ausdruck.
5. Hat man die Zielfunktion, die meist aus mehreren voneinander unabhängigen Variablen besteht und die Nebenbedingungen, die die voneinander unabhängigen Variablen zueinander in Beziehung setzt, formuliert, dann kommt die Differentialrechnung zur Anwendung:

• Drücke mit Hilfe der Nebenbedingung alle Variablen durch eine fest gewählte Variable aus.
• Setze die Nebenbedingungen in die Zielfunktion so ein, dass eine äquivalente Zielfunktion für den zu optimierenden Wert in Abhängigkeit von nur einer Variablen entsteht.
• Bestimme Maximum oder Minimum der Zielfunktion durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung oder Untersuchung des Vorzeichenwechsels der ersten Ableitung an der Nullstelle der ersten Ableitung.
  Ein lokales Maximum liegt vor, wenn die zweite Ableitung an der Nullstelle kleiner als 0 ist oder die erste Ableitung an der Nullstelle einen - / + Vorzeichenwechsel hat. Entsprechend liegt ein lokales Minimum vor, wenn die zweite Ableitung an der Nullstelle größer als 0 ist oder die erste Ableitung an der Nullstelle einen + / - Vorzeichenwechsel besitzt.
  Man beachte dabei den möglicherweise durch die Aufgabenstellung implizit eingeschränkten Definitionsbereich (z.B. ist eine negative Länge sinnlos) und die Ränder des Definitionsbereichs. Es sind Situationen denkbar, in denen zwar im Definitionsbereich ein lokales Extremum vorliegt, aber die Zielfunktion ihr absolutes Extremum am Rand des Definitionsbereichs annimmt. Diese Werte findet man in der Regel nicht durch Differenzieren. Die Ränder müssen gesondert geprüft werden: durch Einsetzen der Randwerte in die Zielfunktion und Vergleich des Funktionswertes mit dem lokalen Extremum. Bei Extremwertaufgaben gibt es immer eine Zielfunktion, deren Wert maximiert/minimiert werden soll und eine Nebenbedingung, die die Wahl der Variablen in der Zielfunktion beschränkt.

Beispiele

• Mit einer vorhandenen Rolle Zaun (darauf sind 50 m) soll ein möglichst großes Stück Land rechteckig eingezäunt werden. Zielgröße ist die eingezäunte Fläche. Die Fläche eines Rechtecks ist
  F = x · y,
  dabei stehen x und y für die Seitenlängen des Rechtecks. F ist also eine Funktion der Seitenlängen. Die Nebenbedingung ist, dass nur 50 m Zaun vorhanden sind. Um ein Rechteck mit Seitenlängen x und y einzuzäunen braucht man
  
  2 x + 2 y = 50 (Nebenbedingung)
  Meter Zaun (den Umfang des Rechtecks). Zwischen den scheinbar unabhängigen Variablen x und y besteht durch die Nebenbedingung eine Beziehung. Nun könnte man versuchen, Lösungen zu raten. Mit x = 5 und y = 20 benötigt man genau 2 · 20 + 2 · 5 = 50 m Zaun, und die Fläche beträgt dann 5 · 20 = 100 m². Raten führt selten zur optimalen Lösung, oder wenn doch, dann fehlt am Ende die Gewissheit (der Beweis) für die Extremaleigenschaft der geratenen Lösung.
  Man löse die Nebenbedingung nach y auf: \[ y = \frac{50-2\ x}{2}.\] Man stelle die Funktion der Fläche in Abhängigkeit von x auf (durch Einsetzen von y): \[F(x) = x \cdot y = x \cdot \frac{ 50 - 2\ x}{2} = 25\ x - x^2.\] Über die Ableitung F'(x) findet man mögliche lokale Maxima der Funktion F(x):
  F'(x) = 25 - 2x.
  Suche Nullstellen von F':
  F'(x) = 0 = 25 - 2x ⇔ x = 12,5.
  Wenn x = 12,5 ist, dann ist y = 12,5. Das folgt durch Einsetzen in die Nebenbedingung. Die Fläche des Rechtecks ist F= 12,5 · 12,5 = 156,25 m². Das kann nun (im Allgemeinen) ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum sein. Durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der Stelle des lokalen Extremums erfährt man, ob es ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum ist. Da F''(x)= -2 für alle x negativ ist, liegt bei der Nullstelle der ersten Ableitung ein lokales Maximum vor. Darum ist x= 12,5 ein guter Kandidat für eine Lösung. Wieso nur ein guter Kandidat? Man muss untersuchen, ob es sich im Definitionsbereich für x wirklich um das absolute Maximum handelt. Es könnte nämlich an den Rändern des Definitionsbereiches für x noch größere Werte geben. Man muss die Ränder gesondert untersuchen. Im Beispiel ist der Definitionsbereich [0 ; 25]. Denn negative x oder negative y sind nicht sinnvoll, weil x und y für Längen stehen. Sowohl für x = 0, als auch für x = 25 ist der Wert von F(x) = 0. x = 12,5 ist ein absolutes Maximum im Definitionsbereich. Bei Verwendung von 50 m Zaun, ist die maximale einzäunbare Fläche gleich 156,25 m².
• Es soll eine Dose mit einem Liter Fassungsvermögen hergestellt werden. Dabei werden Grund- und Deckkreis aus dem umschriebenen Quadrat ausgeschnitten. Wie groß sind die Ausmaße zu wählen, wenn dabei möglichst wenig Blech verwendet werden soll und der Abfall beim Ausstanzen der Grund- und Deckfläche zum verbrauchten Material zählt. Da Deckel und Boden aus einem quadratischen Blech gestanzt werden, ist die Fläche des verwendeten Blechs:
  
  F = 2 · (2 r)² + 2 · π · r · h.
  Dabei ist 2 · (2 r)² die Fläche für den Deckel und Boden (inklusive Abfall) und 2 · π · r · h die Fläche des Mantels. Das Volumen der Dose soll 1 Liter betragen. Ein Liter ist 1 dm³, darum wählt man als Einheit für alle Längen im Folgenden Dezimeter (dm). Die Formel für das Volumen ist
  V = 1 = π · r² · h (Nebenbedingung).
  Daraus folgt durch Umformung: \[h = \frac{1}{r^2\cdot \pi}\] Man erhält die Funktion der Fläche in Abhängigkeit vom Radius r (durch Einsetzen von h): \[F(r) = 8\cdot r^2 + 2\cdot \pi \cdot r\cdot h = 8\cdot r^2 + \frac{2}{r}. \] Diese Zielfunktion ist zu minimieren. Man beachte, dass der Definitionsbereich \(r\in (0,\infty)\) ist, da der Radius immer positiv sein muss. So bekommt man wegen r > 0: \[\begin{array}{crcl} & F'(r) = 16\ r - \frac{2}{r^2} &=& 0 \\ \Leftrightarrow & 16\ r^3 - 2 &=& 0 \\ \Leftrightarrow & 16\ r^3 &=& 2 \\ \Leftrightarrow & r^3 &=& \frac 18 \\ \Leftrightarrow & r &=& \frac 12. \end{array} \] Das Ergebnis ist \(r = \frac 12 {\rm dm} = 5 {\rm cm}\). Man überprüft nun über die zweite Ableitung, ob \(\frac 12\) auch wirklich das Minimum ist: \[F''(r) = 16+\frac{4}{r^3}.\] Einsetzen von r liefert: \[F''\left(\frac 12\right) = 48 > 0\] es liegt also wirklich ein Minimum vor. Den Rand des Definitionsbereiches von r brauchen wir nicht betrachten, da \((0,\infty)\) offen ist.
• Als abschließendes Beispiel noch eines, in dem die zu maximierende Funktion nicht explizit gegeben ist:
  Man zerlege die Zahl 12 so in 2 Summanden, dass ihr Produkt möglichst groß wird. Bei solchen kleinen Zahlen geht zwar Raten schneller, aber wir wollen das Problem mathematisch auffassen, um auch größere Zahlen so behandeln zu können. Wir nennen die beiden gesuchten Zahlen a und b:
  I. Summe: a + b = 12 (Nebenbedingung).
  Da das zugehörige Produkt möglichst groß, also maximal, sein soll, schreiben wir außerdem:
  
  II. Produkt: a · b = Max.
  Dies ist ein allgemeines Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (a und b). Wir wollen jetzt die Gleichung I. nach einer Unbekannten, zum Beispiel nach b, auflösen und den für b gefundenen Wert in die Gleichung II. einsetzen:
  
  I. a + b = 12 ⇔ b = 12 - a,
  eingesetzt in Gleichung II.:
  
  II. a · b = Max ⇔ a (12 - a) = Max,
  oder umgeformt:
  
  II'. -a² + 12 a = Max.
  Bei der entstandenen Gleichung II'. handelt es sich um eine quadratische Gleichung oder Gleichung 2. Grades in der Unbekannten a. Demnach ist
  
  y(x) = -x² + 12 x
  die zugehörige quadratische Funktion. Wenn der Funktionsterm dieser quadratischen Funktion maximal sein soll, so bedeutet dies zeichnerisch veranschaulicht, dass der höchste Kurvenpunkt des Graphen mit der Funktionsgleichung y(x) = -x² + 12 x die Lösung unseres Problems darstellt. Der Funktionsgraph stellt eine nach unten geöffnete Parabel dar, deren höchster Punkt der Scheitel ist. Nun ist unsere Lösung für jedermann ersichtlich:
  
  
  Aus dem Scheitel des Graphen der Funktion y= -x² + 12 x kann man die gesuchte Zahl a (x-Koordinate) und den dazugehörigen maximalen Produktwert (y-Koordinate) ablesen. Mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung erhält man:
  
  y= -x² + 12 x = -(x² - 12 x) = -(x² - 12 x + 36) + 36 = -(x-6)² + 36.
  Damit ist klar, dass a = 6 und folglich auch b = 6 sein muss (mit dem maximalen Produktwert 36).

Links

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http://www.herder-oberschule.de/madincea/aufg0011/extrema1.pdf
Hier finden Sie eine Aufgabe mit Lösungsansatz im pdf Format.

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