Folgen

Problem

Hier geht es darum, den Begriff der Folge etwas näher zu erläutern. Denn um Folgen auf Konvergenz zu untersuchen, sollte man zunächst einmal wissen, was eine Folge ist.

Erläuterung

Es gibt (wie fast immer) verschiedene Möglichkeiten, den Begriff einer Folge (a_n) zu erläutern und zu verstehen, manche sind eher mathematisch präzise (und dafür meist total unanschaulich), andere sind anschaulich (und meist völlig unpräzise):

• Anschaulich ist eine Folge ein "Spaziergang" in den reellen Zahlen, d.h. man stelle sich vor, man steht bei der Zahl a₁ und macht einen Schritt nach a₂, dann wieder einen nach a₃, usw.
• Man kann sich eine Folge auch durch ihren Graphen veranschaulichen, d.h. man trägt über den Punkten 1, 2, ... der x-Achse die Werte a_n auf.
  Das sieht dann wie folgt aus:
  
  
  
• Mathematisch gesehen ist eine Folge einfach eine Abbildung
  
  das ist wie gesagt, sehr präzise, aber bietet keinerlei Anschauung dafür, was man sich unter einer Folge vorzustellen hat.

Beispiele

• Betrachten wir zunächst einmal die Folge mit a_n = 1 für alle n, d.h. in der Spaziergangsinterpretation ist dies ein eher langweiliger Spaziergang, wir stehen die ganze Zeit im Punkt 1.
  Der Graph dieser Folge ist
  
  
  
  und als Abbildung wird sie durch die konstante Abbildung repräsentiert.
• Nun aber zu vielleicht der Folge überhaupt, die Folge \(\left(\frac 1n\right)\), d.h. wir haben \(a_n = \frac{1}{n}\).
  Als Spaziergang aufgefasst gehen wir also von a₁ = 1 aus auf die Null zu, wobei die Schritte, die wir machen, in jedem Schritt kleiner werden, der Graph sieht wie folgt aus:
  
  
  
  
• Ein weiteres Beispiel ist die Folge ((-1)ⁿ), d.h. es ist a_n = (-1)ⁿ, hier "springen" wir also immer abwechselnd von der 1 zur -1. Der Graph dieser Folge ist nicht sonderlich spektakulär:
  
  
  
  
• Mehr Beispielfolgen finden sich unter "Folgenkonvergenz", wo es um das Verhalten von Folgen "im Unendlichen" geht.

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