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Folgenkonvergenz

Das Problem

Hier geht es um die Konvergenz von Folgen reeller Zahlen. Wir wollen zunächst versuchen, uns möglichst anschaulich an das Phänomen "Konvergenz", das ein gewisses Verhalten von Folgen im Unendlichen ist, heranzutasten, um nach einigen Beispielen schließlich auf die mathematische Fassung der Folgenkonvergenz zu kommen.
Falls Sie schon wissen, was Konvergenz heißt, und nur daran interessiert sind, wie man den Limes konkreter Folgen bestimmt, sollten Sie im Abschnitt über Permanenzeigenschaften weiterlesen.

Die Lösung

Zunächst wollen wir uns eingehend damit beschäftigen, was es bedeutet, dass eine Folge eine "Nullfolge" ist, "gegen Null konvergiert", um danach auf allgemeine konvergente Folgen einzugehen:
Also, wie versprochen, zunächst einmal anschaulich: In der im Artikel über Folgen vorgestellten Spaziergangsinterpretation bedeutet Nullfolge sein, dass wir auf unserem Spaziergang schließlich (das heißt nachdem wir hinreichend lange spaziert sind) in jedes noch so kleine Intervall um die Null hereinkommen und es nie mehr verlassen

Nullfolge als Spaziergang

Wichtig dabei:

  • Wir müssen wirklich jedes Intervall um die Null schließlich erreichen, es genügt nicht, dass wir nur ein festes Intervall, wie zum Beispiel \(\left[-\frac 12, \frac 12\right]\) erreichen: Die Folge \(\left(\frac 12, -\frac 12, \frac 12, -\frac 12, \frac 12, ...\right)\) zum Beispiel liegt schließlich in \(\left[-\frac 12, \frac 12\right]\), denn alle ihre Folgenglieder liegen zwischen \(-\frac 12\) und \(\frac 12\), sie ist aber keine Nullfolge, da zum Beispiel keines ihrer Glieder im Intervall \(\left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right]\) liegt.
  • Wir müssen jedes Intervall nicht nur irgendwann erreichen, sondern auch irgendwann tatsächlich im Inneren eines jeden Intervalls um Null verbleiben, d.h. es reicht nicht, wenn wir jedes solche Intervall "immer mal wieder besuchen" und dann aber wieder verlassen: Betrachte als Beispiel etwa die Folge (0, 1, 0, 1, 0, 1, ...). Wir erreichen zwar jedes Intervall [a,b] (mit a < 0 < b) um die Null immer mal wieder (da wir nach jedem zweiten Schritt im Nullpunkt und damit in [a, b] stehen), aber wir bleiben zum Beispiel nie für immer im Intervall \(\left[-\frac 12,\frac 12\right]\), denn nach jedem zweiten Schritt stehen wir in 1 und damit außerhalb des Intervalls \(\left[-\frac 12, \frac 12\right]\). Also ist diese Folge keine Nullfolge.
  • (da es oft Probleme macht): Nullfolge sein heißt nicht, dass wir die Null nie erreichen dürfen, es ist sogar "gut" wenn wir die Null erreichen, denn sie liegt ja nun wirklich in jedem Intervall um Null. So ist zum Beispiel (1,2,3,4,5,0,0,0,...) eine Nullfolge, denn ab dem sechsten Schritt stehen wir im Nullpunkt, d.h. wir sind nach dem sechsten Schritt in jedem Intervall um Null. Also ist (1,2,3,4,5,0,0,0,...) eine Nullfolge.

Der Mathematiker sagt zu obigen einfach kurz:

In jedem Intervall um 0 liegen fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele) Folgenglieder.

Nun wollen wir uns überlegen, was "Nullfolge sein" für unsere zweite Folgen-Veranschaulichung, den Graphen der Folge bedeutet. Rekapitulieren wir noch einmal: Wir mussten schließlich in jedes Intervall um Null hineinspazieren und es nie mehr verlassen. Wir wollen uns zunächst überlegen, wie wir so ein Intervall in unserem Folgengraphen unterbringen können: Na ja, wir betrachten doch nun Intervalle [a, b] mit a < 0 < b, in unserem Koordinatensystem können wir ein solches Intervall durch Parallelen zur x-Achse durch a und b auf der y-Achse darstellen:

ein Intervall

Wie können wir nun Nullfolgen deuten: In jedes Intervall zu kommen, bedeutet, dass die Punkte unserer Folge von einer Stelle an alle im Streifen zwischen den beiden Geraden liegen, wie etwa im folgenden Bild angedeutet:

Graph einer Nullfolge

Bevor wir die Nullfolgeneigenschaft mit Hilfe unserer letzten Folgenauffassung, also mathematisch exakt, charakterisieren werden, wollen wir zunächst unsere Beispielfolgen aus dem Folgenartikel mit Hilfe unseres bisher erworbenen Wissens daraufhin untersuchen, ob sie Nullfolgen sind:

  • Wir hatten zunächst die Folge (1,1,1,...) betrachtet, hier noch einmal ihr Graph:
    Graph der konstanten Folge (1)
    Mit Hilfe unserer Graphinterpretation von "Nullfolge" sollte klar sein, dass sie keine Nullfolge ist, denn den oben eingezeichneten Streifen zwischen \(-\frac 12\) und \(\frac 12\) erreicht sie nie.
    Auch mit Hilfe der Spaziergangsinterpretation kann man sich das klar machen: Wenn wir nur in der Eins rumstehen, erreichen wir zum Beispiel nie das Intervall \(\left[-\frac 12, \frac 12\right]\), was wir im Falle einer Nullfolge aber müssten.
  • Des Weiteren hatten wir uns mit der Folge \(\left(1,\frac 12,\frac 13,\frac 14,...\right)\) beschäftigt, die den Graphen
    Graph der Folge \((\frac 1n)\)
    hatte.
    Sie ist eine, vielleicht die (warum, wird unten erläutert) Nullfolge. Zum Beweis betrachten wir ein Intervall [a,b] um die Null. Wenn wir auf unserem Spaziergang so viele Schritte machen, dass für die Anzahl n unserer Schritte \( n > \frac 1b \) gilt, so sind wir ab da an sicherlich im Inneren des Intervalls, denn dies ist äquivalent zu \(\frac 1n < b \). (Zu diesem Beispiel wird es nach der mathematischen Definition noch einige weitere Bemerkungen geben.)
  • Als Letztes wollen wir uns noch mit der Folge (-1,1,-1,1,-1,...) befassen:
    Graph der Folge ((-1)<sup><i>n</i></sup>)
    Wie schon im ersten Beispiel (die Einsfolge) erkennt man am eingezeichneten \(\left[-\frac 12, \frac 12\right]\)-Streifen, dass sie keine Nullfolge ist.

Nun wollen wir uns mit der exakten mathematischen Fassung des Begriffs Nullfolge befassen. Wir betrachten also eine Folge (an) und wollen definieren, wann sie eine Nullfolge heißen soll: Nun wir müssen doch jedes Intervall um Null schließlich erreichen, ein solches Intervall enthält immer ein Intervall \([-\varepsilon,\varepsilon]\) mit positivem \(\varepsilon\). Wir müssen also ausdrücken, dass unsere Folgenglieder schließlich zwischen \(-\varepsilon\) und \(+\varepsilon\) liegen, d.h. dass für hinreichend große n stets \(|a_n| \leq \varepsilon\) gilt. Nun bleibt nur noch, "hinreichend groß" zu präzisieren, das heißt doch, dass es einen (von \(\varepsilon\) möglicherweise abhängenden Index) n0 gibt, so dass für alle Indizes \(n\geq n_0\) stets \(|a_n| \leq \varepsilon\) erfüllt ist. Wir können also definieren:

Es sei (an) eine Folge. Sie heißt Nullfolge, falls gilt: Für jedes \(\varepsilon > 0 \) existiert ein n0, so dass für alle \(n\geq n_0\) stets \(|a_n| \leq \varepsilon \) ist.
Falls Sie mit der mathematischen Quantorenschreibweise vertraut sind (wenn nicht, auf keinen Fall verwirren lassen, hier wird nur der obige Satz mit abstrakten Symbolen dargestellt), "(an) ist Nullfolge" schreibt sich dann so: \[ \forall\varepsilon > 0\,\, \exists n_0 \in {\rm I\! N}\,\, \forall n \ge n_0 :\, |a_n| \le \varepsilon. \]


Bemerkungen/Beispiele zur Definition

  • Wenn wir von einer gegebenen Folge nachweisen wollen, dass sie eine Nullfolge ist, müssen wir zu einem beliebig vorgegebenen \(\varepsilon > 0\) ein n0 mit den geforderten Eigenschaften angeben, dabei dürfen wir von \(\varepsilon\) nur die Positivität und nichts anderes ausnutzen.
  • Haben wir die Vermutung, dass eine uns vorliegende Folge keine Nullfolge ist, so müssen wir die Negation der Nullfolgendefinition beweisen, d.h. wir müssen ein \(\varepsilon > 0\) angeben, so dass für jedes n0 ein größeres n mit \(|a_n| > \varepsilon\) existiert.
  • Nun wollen wir uns noch einmal mit unseren drei Beispielen befassen:
    Zunächst also die Folge mit den Gliedern an = 1, wir hatten oben anschaulich argumentiert, dass sie keine Nullfolge ist, das wollen wir nun beweisen: Betrachten wir nun einmal (wie wir uns oben überlegt hatten) \(\varepsilon = \frac 12\). Es sei (gemäß der zweiten Bemerkung) ein beliebiger Index n0 vorgegeben. Wir haben ein nn0 mit \(|a_n| > \varepsilon\) anzugeben. Das ist hier aber leicht, wir wählen einfach n = n0, dann ist
    Also ist (1,1,...) keine Nullfolge.
  • Nun wollen wir uns mit der Folge \( \left(\frac 1n\right)\) befassen. Wir hatten oben vermutet, dass sie eine Nullfolge ist, jetzt können wir es beweisen:
    Sei also ein beliebiges \(\varepsilon > 0\) vorgegeben. Wir machen zunächst eine kleine Vorüberlegung: Wir wollen doch
    erreichen. Für \(n\geq n_0\) ist doch nun aber sicher
    d.h. es reicht, ein n0 mit \( \frac {1}{n_0} \leq \varepsilon\)   zu finden. Das ist aber äquivalent zu \(n_0 \geq \frac 1\varepsilon\), und ein solches n0 können wir nach dem Archimedesaxiom (dieses Axiom besagt, dass es "beliebig große" natürliche Zahlen gibt) immer finden. Nun bleibt nur noch das Rückwärtsaufschreiben unserer Vorüberlegung: Wähle ein natürliches n0 mit \(n_0 \geq \frac 1\varepsilon\). Dann ist für größere n:
    Damit ist bewiesen, dass \(\frac 1n\) eine Nullfolge ist.
  • Nun zu unserer letzten Beispielfolge, der Folge (-1,1,-1,1,...), wie für die erste werden wir auch hier zeigen, dass sie keine Nullfolge ist, wir setzen wieder \(\varepsilon = \frac 12\). Es sei n0 vorgegeben. Wir haben ein nn0 mit \(|a_n| > \varepsilon\) anzugeben. Das ist leicht, wir wählen einfach n = n0, dann ist
    Also ist (-1,1,-1,1,...) keine Nullfolge.

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Ein wichtiges Kriterium

Bevor wir zum allgemeineren Konvergenzbegriff kommen, wollen wir noch ein wichtiges Kriterium angeben, das es einem oft erleichtert, eine Folge als Nullfolge zu erkennen, das sog. Vergleichskriterium:

Es sei (an) eine Nullfolge und (bn) eine Folge, so dass |bn| ≤ |an| für hinreichend große n gilt.
Dann ist auch
(bn) eine Nullfolge.

Ein Beispiel dazu: Wir betrachten ein q mit -1 < q < 1 und die Folge bn := qn.
Wir behaupten, dass das eine Nullfolge ist und wollen das Vergleichskriterium anwenden.
Zunächst gilt für \(q = 0: b_n = 0^n = 0\) ist Nullfolge. Sei also \( q\neq 0\) mit \( -1 < q < 1\), d.h. \( 0< |q| < 1\). Wir definieren

\[ x:= \frac{1}{|q|} -1 > 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad |q| = \frac{1}{1+x} \]

d.h. es ist

Nun gilt nach dem binomischen Lehrsatz

\[ (1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k}x^k = 1 + n\ x + \sum_{k=2}^n \underbrace{{n\choose k}}_{>0} \ \underbrace{x^k}_{>0} \ \geq n\ x \]

und damit

und \( \frac 1x \cdot \frac 1n\) ist eine Nullfolge (was man genauso wie die Nullfolgeneigenschaft für \(\frac 1n\) beweist). D.h. es ist (qn) ebenfalls eine Nullfolge.

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Konvergenz

Bisher haben wir Folgen betrachtet, die in gewissem Sinne der Null beliebig nahe kommen, jetzt wollen wir allgemeiner Folgen betrachten, die einer Zahl a nahe kommen.
Diesmal wollen wir mit der mathematischen Beschreibung beginnen, und erst danach die anschauliche Interpretation geben:

Es sei (an) eine Folge und a eine Zahl, wir sagen (an) konvergiere gegen a, falls die Folge (an - a) eine Nullfolge ist und schreiben dafür
Die Zahl a heißt Limes (lat. limes - Grenze) oder Grenzwert der Folge (an).

Wir können uns das wie folgt veranschaulichen (dabei kommt uns zugute, dass wir den Konvergenzbegriff auf den Nullfolgenbegriff zurückgeführt haben): Es ist an → a, falls, nun ja, falls wir mit unserem Folgengraph irgendwann in jeden Streifen um a hineinkommen:

Graphische Veranschaulichung von <i>a<sub>n</sub></i> -> <i>a</i>

Und in unserer Spaziergangsinterpretation heißt ana gerade, dass wir jedes Intervall um a nach einer hinreichenden Anzahl von Schritten erreichen und dann nicht mehr verlassen.

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Permanenzeigenschaften (die so genannten Konvergenzsätze)

Bevor wir zu Beispielen kommen, wollen wir sog. Permanenzeigenschaften angeben, d.h. sagen, wie wir gegebene Folgen als konvergent erkennen können, in dem wir sie aus uns schon als konvergent bekannten Folgen zusammensetzen:
Es seien also (an) und (bn) zwei konvergente Folgen, es gelte etwa ana und bnb.

  • (Summen)
    Die Folge (an + bn) ist auch konvergent, und zwar gegen a + b. Das können wir auch als
    schreiben.
    Achtung: Das stimmt nur, wenn an und bn konvergieren.
  • (Vielfache)
    Ist c eine reelle Zahl, so ist auch (c an) konvergent, und zwar gegen c a, kurz
  • (Produkte)
    Die Folge (anbn) ist auch konvergent, und zwar gegen a b, kurz
  • (Quotienten)
    Es sei zusätzlich b ungleich 0 und kein bn sei Null. Dann konvergiert auch \( \left(\frac{a_n}{b_n}\right)\) und zwar gegen \(\frac{a}{b}\), d.h.
  • (Wurzeln)
    Ist an ≥ und a > 0, so gilt
    d.h.

Im nächsten Abschnitt gibt es Beispiele für die Anwendung dieser Sätze.

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Beispiele

  • Wir betrachten zunächst die durch
    gegebene Folge.
    Aus dem Abschnitt über Nullfolgen wissen wir, dass \( \frac 1n \rightarrow 0\) und 0.3n → 0. Nach dem zweiten Konvergenzsatz folgern wir, dass
    und
    Nun können wir den ersten unserer Permanenzsätze anwenden und erhalten
    d.h. an konvergiert und zwar gegen Null.
    Meist argumentiert man nicht so ausführlich und schreibt kurz mit Hilfe der Permanenzeigenschaften:
  • Wir betrachten (wieder einmal) ((-1)n). Oben haben wir schon gezeigt, dass diese Folge keine Nullfolge ist. Wir behaupten jetzt, dass sie überhaupt nicht konvergiert.
    Dazu wollen wir uns zunächst einmal überlegen, was wir überhaupt zu zeigen haben. "Nicht konvergieren" heißt doch, dass die Folge gegen keine Zahl a konvergiert, d.h. dass ((-1)n-a) für kein a eine Nullfolge ist. Das müssen wir also zeigen.
    Sei also a beliebig und \(\varepsilon = \frac{1}{2}\) (noch einmal zur Erinnerung: Wir haben zu zeigen, dass für jedes n0 ein größeres n mit \(|(-1)^n - a| > \frac 12\) existiert). Sei nun n0 beliebig. Wir unterscheiden zwei Fälle.
    • a ≥ 0
      Wähle n = 2n0 + 1, dann ist
    • a < 0
      Wähle n = 2n0, dann ist \[ \left|(-1)^n - a\right| = \left|(-1)^{2n_0} - a\right| = \left|1 - a\right| = 1-a \ge 1 > \frac 12 \]
    Also konvergiert ((-1)n) nicht gegen a. Da a eine beliebige Zahl war, konvergiert die Folge überhaupt nicht.
  • Nun betrachten wir
    Das sieht zunächst einmal schlecht aus, denn wir können keine Bestandteile erkennen, die uns als konvergent bekannt sind, hier hilft ein häufig vorkommender Trick weiter: Wir erweitern mit der Zahl \( \frac{1}{n^k}\), wobei \(k\) die höchste auftretende Potenz von \(n\) sei - in unserem Fall also mit \( \frac{1}{n^2}\) - und erhalten, dass
    Das sieht schon besser aus, wir erhalten unter Anwendung der Konvergenzsätze, dass
  • Als abschließendes Beispiel wollen wir uns mit
    befassen. Das ist wieder nur mit einem Trick möglich, nämlich mit geschickter Anwendung der dritten binomischen Formel erhalten wir durch Erweitern:
    Wenden wir nun unseren Trick aus dem vorigen Beispiel an, so erhalten wir
    Nun können wir die Konvergenzsätze anwenden und erhalten:

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