Was ist "dx"?

Das Differential

In diesem Artikel soll versucht werden, die bei der Integration durch Substitution verwendeten Schreibweisen, dx, du zu erläutern. Dies soll hier nicht in voller Exaktheit oder größter Allgemeinheit geschehen. Falls Sie daran interessiert sind, sei Ihnen ein Buch (z.B. Jänich: Vektoranalysis, Springer) oder der Wikipedia-Artikel ans Herz gelegt. Für diese beiden Hinweise gilt in noch viel größerem Maße als für diesen Artikel, dass Sie zum Verständnis über eine gewisse mathematische Grundbildung verfügen müssen. Für diesen Artikel genügt es zu wissen, was eine lineare Abbildung ist.

Aber nun soll es losgehen. Differenzierbarkeit einer Funktion u bedeutet doch anschaulich, dass man den Graphen durch eine Gerade - nämlich die Tangente - "hinreichend" gut approximieren kann. Stellen wir uns die Tangente in den Nullpunkt verschoben vor, in etwa so

Dann ist die Tangente doch der Graph einer Funktion der Form

Eine solche Funktion soll im Folgenden linear heißen, die Menge aller linearen Funktionen wollen wir mit \(L(\R)\) bezeichnen. Nun aber zurück zu unserer Tangente, sie ist doch, nach der Verschiebung in den Nullpunkt, der Graph der Funktion

und diese Funktion nennt man das Differential von u im Punkte x₀ und schreibt dafür

Ist unsere Funktion u in jedem Punkt differenzierbar, so können wir das für alle Punkte x₀ machen und erhalten damit eine Abbildung

die das Differential von u heißt.

So, nun wissen wir also, was mit du exakt gemeint ist, was aber ist mit dx, und was soll

heißen? Nun, zunächst einmal eine, zugegebenermaßen gewöhnungsbedürftige, aber dennoch bequeme, Notation. Mit x bezeichnen wir die Identität auf [a,b], also die Abbildung

\[ x:[a,b] \to [a,b], \quad t \mapsto t \]

dann ist dx, wie oben du, das zu x (jetzt eine Funktion!) gehörige Differential. Da die Ableitung von x gerade konstant 1 ist, haben wir an jeder Stelle

Ist nun \(u: [a,b] \rightarrow \R\) wieder eine differenzierbare Funktion, so gilt damit für jedes x₀ doch

was man auch kurz als

oder, nach punktweiser Division, als

schreibt.

Dies soll hier genügen. Warum Differentiale in der Integrationstheorie auftauchen, oder wie es im Höherdimensionalen aussieht, kann und soll hier nicht begründet werden. Dieser Artikel sollte nur dazu dienen, Interessierten die mathematische Begründung für die verwendeten Schreibweisen zu geben.

Hier geht es zurück zum Artikel über die Bestimmung von Stammfunktionen.