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Berechnung von Stammfunktionen

Problem

Wir benötigen, zum Beispiel zur Berechnung einer Fläche oder der Länge einer Kurve, eine Stammfunktion einer gegebenen Funktion.

Erläuterung

In der Problembeschreibung tauchte der Begriff Stammfunktion auf, wir wollen hier kurz erläutern, was das eigentlich ist. Die Bildung einer Stammfunktion (auch als Integration bezeichnet) ist der Umkehrvorgang des Differenzierens, d.h. des Bildens einer Ableitungsfunktion.

Hier ein kleines Beispiel, das auch gleich die in diesem Artikel genutzte Notation erläutern soll. Wir betrachten die durch f(x) := x2 gegebene Funktion \(f: \R \rightarrow \R\). Ihre Ableitung können wir mit Hilfe der uns bekannten Ableitungsregeln bestimmen. Wir erhalten f '(x) = 2 x für jedes x aus \(\R\). Umgekehrt sagen wir nun, die Funktion \(x \mapsto x^2\) sei eine Stammfunktion zu \(x \mapsto 2\ x\). Das schreibt man im Allgemeinen als

Noch drei kurze Bemerkungen dazu:
  • Was dx ist, erklären wir hier für Interessierte. Für diesen Moment reicht es aus, sich darunter die Information vorzustellen, bzgl. welcher (von vielleicht mehreren) Variablen man die Stammfunktion bildet.
  • Man liest oft Sätze wie: “x2 ist eine Stammfunktion zu 2x”, dies ist zwar nicht ganz korrekt, da 2x i.Allg. nicht als Funktion anzusehen ist (gemeint ist natürlich die Funktion \(x \mapsto 2x\)), aber da diese Sprechweise sehr bequem ist und kaum zu Missverständnissen führen kann, werden wir sie im Folgenden auch benutzen.
  • Eine Stammfunktion existiert, soweit die gegebene Funktion stetig ist, immer, ist aber nie eindeutig bestimmt. Da nämlich die Ableitung konstanter Abbildungen Null ist, ist mit F auch F + 1232 eine Stammfunktion zu f. Um das anzudeuten, findet man oft auch die Schreibweise
    wobei das C eine beliebige Konstante darstellen soll. Da diese Schreibweise aber auch zu Fehlern führen kann, und vielleicht eher schadet als nützt, haben wir uns entschlossen, auf die sog. Integrationskonstante in der Notation zu verzichten.

Das Problem bei der Stammfunktionsbestimmung ist, dass es i.Allg. schwieriger als das Differenzieren ist, manchmal sogar in gewissem Sinne unmöglich. Für das Ableiten gibt es "ein paar Regeln" die zum Berechnen von Ableitungen reeller Funktionen so gut wie immer ausreichen. Für die Integration gibt es zwar auch Regeln, diese sind aber i.Allg. nur als Verfahren zu sehen und zur Anwendung ist meist erstmal eine Idee notwendig (in Büchern liest man oft Dinge wie: "Die Form des Problems legt folgenden Ansatz nahe: [Riesenformel] "), ohne die man nicht vorankommt. Auch nach der Lektüre dieses Artikels sind Sie also - auch theoretisch - nicht in der Lage, alle Stammfunktionen sofort hinzuschreiben, wir möchten Ihnen aber ein gewisses Handwerkszeug nahe bringen.

Regeln

  • Zunächst einmal die, nach obiger Einleitung vielleicht merkwürdig erscheinende, aber auch sehr wichtige Regel:

    also einfach die Aussage, dass die Stammfunktion einer Ableitung die abgeleitete Funktion selbst ist. Das scheint nach der Einleitung klar, ist aber dennoch die Grundlage der meisten hier noch weiter aufgeführten Regeln. Auf dieser Regel basiert auch ein Großteil der in Formelsammlungen, wie zum Beispiel hier in der Wikipedia aufgelisteten Integrationstabellen.

  • Summen: Wir haben eine Funktion f der Form f1 + f2, wobei uns Stammfunktionen von f1 und f2 bekannt sind (z.B. weil wir sie schon berechnet haben). Es seien etwa F1 und F2 solche Stammfunktionen, dann ist doch wegen der bekannten Additivität des Differenzierens:
    also ist F1 + F2 eine Stammfunktion von f. Wir notieren diese Regel kurz als
    Diese Eigenschaft der Integration nennt man auch Additivität.
  • Vielfache: Wir haben eine Funktion f der Form f = a · g, eine Stammfunktion G von g ist uns bekannt und a ist eine Zahl, dann ist doch
    also aG eine Stammfunktion zu f, was wir wie oben kurz als
    notieren.
  • Produkte, die sog. partielle Integration: Nach der Lektüre der beiden vorstehenden Regeln und als mit den Differentiationsregeln Vertrauter erwarten Sie jetzt vielleicht eine Regel zu Produkten der Form
    aber leider, und das ist mit ein Grund für die anfangs erwähnten Probleme, gibt es eine solche Regel nicht.

    Aber es gibt etwas Ähnliches - auf der Produktregel basierendes - die sog. partielle Integration: Diese Regel ist im Gegensatz zu den bisher genannten nicht so einfach anzuwenden. Ihre Anwendung erfordert Geschick, Intuition und Erfahrung. Sie ergibt sich aus der Produktregel des Differenzierens: Sind f, g differenzierbare Funktionen, so gilt bekannterweise

    Liest man das als:
    so erhält man unter Verwendung der Summenregel
    indem man auf beiden Seiten zur Stammfunktion übergeht. Die anfangs genannte Intuition ist an folgender Stelle notwendig: Ist eine Funktion h gegeben, so muss man diese zur Anwendung der partiellen Integration doch in der Form h = f ' · g schreiben und zwar so, dass man Stammfunktionen zu f ' und f · g' "leichter" berechnen kann als eine Stammfunktion zu f ' · g. Wie man das aber am geschicktesten macht, ist nicht von vornherein klar, aber wesentlich, wie zum Beispiel das zweite Beispiel unten zeigt.
  • Vekettungen, die sog. Integration durch Substitution: Wieder erhalten wir leider kein Patentrezept, sondern nur ein Verfahren, das geschicktester Anwendung bedarf. Wir betrachten zunächst wieder die zugehörige Differentiationsregel: Für differenzierbare Funktionen f,g haben wir doch

    was wir mittels unserer ersten Regel als

    schreiben können.

    Wieder ist unser Geist gefordert: Sollen wir eine Stammfunktion zu h bestimmen, müssen wir zunächst h = (f ' o g) · g' "erkennen", was im Allgemeinen so einfach nicht ist.

    Was fällt noch auf? Der Titel macht ja wohl keinen Sinn, oder nicht? Was hat das denn jetzt mit Ersetzungen (lat. substituere - ersetzen) zu tun. Der Name rührt von einer für diese Art der Integration sehr bequemen Notation. Wenn wir die Regel anwenden wollen, führen wir für den Term g(x) einen neuen Namen ein, meist wählt man, warum auch immer u, also ist u = g(x), wenn Sie sich an die Leibnizsche Schreibweise für die Ableitung erinnern, so haben wir doch

    Das "multiplizieren" wir mit dx (was das genau soll, haben wir hier für Interessierte versucht zu erklären). Setzen wir es ein, so ist \[ \int \bigl(f\, ' \circ g\bigr)(x) \cdot g'(x)\, dx = \int f\, '\bigl( g(x)\bigr) \cdot g'(x)\, dx = \int f\, ' (u) \cdot \frac{du}{dx}\, dx = \int f\, ' (u) \, du, \] also \[ \int \bigl(f\, ' \circ g\bigr)(x) \cdot g'(x)\, dx = \int f\, '(u) \, du \] und so wird das Verfahren meist angewandt:
    • Schreibe den Integranden (das ist ein Name für diejenige Funktion deren Stammfunktion wir bestimmen wollen) in der Form (f ' o g) · g'.
    • Ersetze g(x) überall durch u und g'(x) dx durch du.
    • Tue so, als ob jetzt u eine Variable wäre und berechne das Integral.
    • Ersetze im Ergebnis wieder u durch g(x).
    Daher also der Name "Integration durch Substitution".

Beispiele

Für elementare Funktionen

Hier wollen wir zunächst durch Umkehren einiger konkreter Differentiationsregeln ein paar Beispiele zur Verfügung stellen, mit deren Hilfe wir dann unten auch kompliziertere Funktionen integrieren wollen:

  • Potenzfunktionen: Wir wissen, dass für reelles a stets
    gilt. Ist a ungleich -1, so können wir durch (a + 1) teilen, erhalten also
    und damit mit Hilfe unserer ersten Regel
    Was ist denn aber nun mit a = -1? Dazu erinnere man sich an die Regel für x ≠ 0: \[ \frac{d}{dx} \,\log |x| = \frac {1}{|x|} \ \mathrm{sign}(x) = \frac{1}{x} \] also
    wieder wegen unserer ersten Regel.
  • Exponentialfunktion: Aus
    erhalten wir doch
    und allgemeiner (falls die Basis nicht die Eulersche Zahl ist) erhalten wir für a > 0 zunächst \[a^x = \left(e ^{\log(a)} \right)^x = e^{x \cdot \log(a)}. \] Mit der Substitutionsregel folgt nun durch die Wahl \[ u:= x\cdot \log(a), \qquad \frac{du}{dx} = \log(a)\] die Beziehung \[ \int e^{x\cdot \log(a)}\, dx = \frac{1}{\log(a)}\ \int e^{x\cdot \log(a)}\cdot \log(a)\, dx = \frac{1}{\log(a)}\ \int e^u \, du = \frac{e^u}{\log(a)} = \frac{e^{x\cdot \log(a)}}{\log(a)}. \] Insgesamt erhält man somit die Regel
  • Trigonometrische Funktionen: Aus sin' = cos und cos' = - sin folgt, dass
    Eine Stammfunktion für den Tangens zu bestimmen ist so leicht nicht, und das soll uns später als weiteres Beispiel für die Integration durch Substitution dienen. Wir wollen sie hier aber der Vollständigkeit halber trotzdem aufführen. Weil für \(x\neq k\cdot \pi + \frac{\pi}{2},\ k \in \Z\) folgendes gilt \[ \begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \log\bigl|\cos(x)\bigr| &=& \frac{1}{\cos(x)} \cdot \bigl(-\sin(x)\bigr)\\ &=& - \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\\ &=& -\tan(x) \end{eqnarray*} \] ist
    Vielleicht fragen Sie sich, was das mit Substitution zu tun habe, aber die brauchten wir hier nicht, da wir die "richtige Vermutung" hatten (log |cos x| halt), das meinten wir oben mit "Die Form des Problems [...]".

Additivität und Homogenität

Mit Hilfe der obigen einfachen Funktionen und unserer Regeln für Summen und Vielfache können wir schon einige Stammfunktionen berechnen:

  • Betrachte etwa f(x) := x2 + x4, wir haben
    als Stammfunktion, wobei wir gleich am Anfang die Summenregel ausgenutzt haben, und die beiden Potenzfunktionen mittels des ersten Beispiels oben integriert haben.
  • Nun wollen wir einmal ein Beispiel für die Homogenität betrachten, etwa g(x) := 2 sinx. Es folgt aus der Regel für Vielfache und unserer obigen Sinusregel, dass
  • Mit Hilfe der beiden Regeln zusammen können wir auch beliebige Polynome integrieren, wir wollen das an einem Beispiel zeigen, etwa p(x) = 2x2 - x10 + 12x4. Es ist wegen der Linearität (dieser Terminus bezeichnet Additivität und Homogenität gemeinsam) der Stammfunktionbildung
  • Als Abschluss noch ein Beispiel, das beide Regeln anwendet. Wir wollen
    berechnen und erhalten

Partielle Integration

  • Wir wollen als erstes Beispiel einen der Paradefälle für die partielle Integration besprechen, das sind Funktionen der Form "Polynom mal elementar", man hat hier meist "f ' = Polynom" und "g = elementar" zu wählen. Warum, wird hoffentlich an unserem ersten Beispiel h(x) = x sin x klar:

    Also partielle Integration: h ist ein Produkt, das sieht ja schon gut aus, aber was sollen wir als f ' und was als g nehmen? Hier gibt es eine gewisse Regel, die meist hilft: "Polynome werden einfacher, wenn man sie differenziert". Also wählen wir lieber g als Polynom und f ' als das andere, d.h., wir wählen g(x) = x und f '(x) = sin x. Rufen wir uns die partielle Integration noch einmal in Erinnerung, es war doch

    wir müssen also zunächst f und g' bestimmen, es ist
    Damit erhalten wir - wir haben zur Verdeutlichung die einzelnen Terme gekennzeichnet - \[ \begin{eqnarray*} \int \underbrace{x}_{g}\,\underbrace{\sin x}_{f'}\, dx &=& \underbrace{x}_{g} \cdot \underbrace{(-\cos x)}_f - \int \underbrace{1}_{g'} \cdot \underbrace{(-\cos x)}_f\, dx\\ &=& -x\cos x + \int \cos x\, dx\\ &=& -x\cos x + \sin x. \end{eqnarray*} \] Das mit der Kennzeichnung der einzelnen Terme empfiehlt sich auf jeden Fall, solange man sich nicht sicher fühlt, da man sonst sehr leicht durcheinander kommt und sich nur alles schwerer macht.

    Wie versprochen, wollen wir noch überlegen, warum wir es jetzt gerade so herum gemacht haben und nicht anders, wir hätten doch auch so rechnen können: Mit f '(x) = x und g(x) = sin x hätten wir erhalten:

    Das sich ergebende Integral sieht irgendwie komplizierter statt einfacher aus, das ist schlecht, deswegen empfiehlt es sich in der Regel, Polynome nicht zu integrieren.

  • Manchmal ist auch mehrmalige Anwendung der partiellen Integration notwendig, betrachte etwa (x2 + x) cos x. Wir wählen getreu unserer Regel das Polynom x2 + x als g(x) und erhalten
    Schon besser, aber noch nicht wirklich gut, wir integrieren nochmals partiell und erhalten weiter
  • Als nächstes Beispiel wollen wir log x mit x > 0 betrachten. Man fragt sich jetzt vielleicht, was hat das mit partieller Integration zu tun. Nun, das ist einer der anfangs angesprochenen Fälle, der eine Idee erfordert, und zwar die folgende: Es ist doch
    und das ist ein Produkt. Nun können wir partiell integrieren, dabei wäre es sicher ungünstig, g als die Eins zu wählen, da wir dann f '(x) = log x integrieren müssten, was irgendwie ein Teufelskreis ist, wir rechnen also
  • Im letzten Beispiel wollen wir einen anderen, manchmal hilfreichen Trick ansprechen, wir wollen hier
    berechnen. Es scheint egal zu sein, ob wir g als sin oder cos wählen, da beides trigonometrische Funktionen sind, und so ist es auch. Wir rechnen:
    Das ist aber genau das Gleiche wie vorher, oder, nein, denn wegen der Summenregel können wir auf beiden Seiten die zu berechnende Stammfunktion addieren, und erhalten somit
    Also: Wenn bei der partiellen Integration das zu berechnende Integral erneut auftritt, keine Panik, sondern einfach auf die andere Seite der Gleichung bringen und dann weiter rechnen.

Integration durch Substitution

  • Beginnen wir zunächst mit einem einfachen Beispiel, an dem - so hoffen wir - das grundsätzliche Vorgehen klar wird, wir wollen
    berechnen. Hm, wir könnten natürlich das Binom ausmultiplizieren und dann wie gewohnt integrieren. Aber das scheint aufwändig - Oder was wäre, wenn da nicht vier, sondern 123 stünde? - wir wollen substituieren, aber was? Uns stört doch (2x + 4), oder nicht? Wir setzen also
    Erinnern wir uns an unser geplantes Vorgehen bei der Integration durch Substitution, so müssen wir doch nun auch noch irgendwie dx durch du ersetzen, um "nach u zu integrieren". Dazu müssen wir u ableiten, denn wir hatten uns überlegt, dass
    hier ist also
    Wir erhalten also
    Der nächste Schritt war doch, zu "vergessen", was u ist und nach u zu integrieren, wir erhalten
    Nun folgt die Resubstitution, d.h. wir müssen u wieder durch 2x + 4 ersetzen, wir erhalten
    Damit haben wir die gesuchte Stammfunktion berechnet, und zumindest uns erschien dieser Weg einfacher als Ausmultiplizieren.

    Meist schreibt man das Ganze natürlich nicht so ausführlich auf, sondern bedient sich einer knapperen Form, man schreibt so etwas wie

  • Als nächstes Beispiel wollen wir noch einmal
    berechnen, um zu zeigen, dass viele Wege nach Rom führen.

    Was sollte einem auffallen? (Hier ist jetzt die anfangs angesprochene Intuition gefragt!) Nun ja, es ist doch cos die Ableitung von sin, oder nicht? Setzen wir also

    so erhalten wir
    was sich als äußerst günstig erweist, da cos x dx unter dem Integral auftaucht, wir erhalten also
    "Wie bitte?" fragt sich vielleicht manch aufmerksamer Leser, hatten wir oben nicht
    erhalten, was soll das? Dazu beachte man, dass nach Pythagoras
    gilt, beide Funktionen sich also nur um eine Konstante zu unterscheiden, man also tatsächlich diese beiden Funktionen - obschon von unterschiedlicher Gestalt - als Stammfunktionen von sin x cos x hat.

  • Hier soll, wie oben versprochen, eine Stammfunktion des Tangens berechnet werden, und dabei eine weitere wichtige Beispielklasse für die Substitutionsintegration aufgezeigt werden.

    Betrachten wir also den Tangens, aus unseren bisherigen Beispielen für die Integration durch Substitution wissen wir, dass wir den Tangens anders darstellen sollten - hier ist jetzt wieder mal die richtige Idee fällig. Für den Tangens fällt uns, so hoffe ich, als Erstes folgende Darstellung ein

    Überlegen wir einmal kurz, ob uns das weiterhilft, hm, der Sinus und der Cosinus sind - modulo Vorzeichen - Ableitungen voneinander, sieht schon einmal nicht schlecht aus, wir haben es also mit einem Integral der Form Ableitung/Funktion zu tun, dies ist meist (ich wage es nicht "immer" zu schreiben) ein Fall für die Integration durch Substitution, man setzt in diesem Fall u(x) = der Nenner, wir wählen hier also
    erhalten
    und damit schließlich
    Im allgemeinen Fall Ableitung/Funktion erhält man analog stets log|Funktion| als Stammfunktion.

  • Bisher haben wir bei der Substitution meist "schwere" - soll heißen: kompliziert erscheinende - Terme durch leichtere ersetzt, zum Abschluss wollen wir einmal ein Beispiel betrachten, wo das umgekehrte Vorgehen zum Ziele führen wird: Lasst uns
    berechnen.

    Was fällt uns ein - erstmal gar nichts - hm, vielleicht sollten wir 1-x2 ersetzen, doch halt, woher nähmen wir die Ableitung 2x, wo brächten wir diesen Term unter? Eins minus eins Quadrat, Pythagoras, natürlich, wenn x ein Sinusterm wäre könnten wir die Wurzel ziehen, alles ginge auf, wir setzen somit

    und damit
    erhalten also
    Dieses Integral berechnen wir nun mit partieller Integration
    Wir erhalten damit weiter
    und haben damit die gesuchte Stammfunktion berechnet.

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