Integration - Motivation

Worum geht es?

Dieser Artikel beschäftigt sich mit dem Thema Integration ("Wozu braucht man das eigentlich?"). Methoden zur Berechnung von Integralen finden Sie hier.

Integration - wozu?

Der Flächeninhalt "einfacher" Flächen, wie zum Beispiel Quadrate, Kreise, Dreiecke usw. lässt sich relativ einfach mit wohlbekannten Formeln berechnen. Damit kann man auch Flächeninhalte von Figuren, die aus mehreren Quadraten, Kreise, Dreiecke usw. zusammengesetzt sind, bestimmen, wie zum Beispiel:

Was ist aber nun mit nicht durch Kreise und Geraden begrenzten Flächen, wie etwa folgender:

Offenbar ist es als erster Schritt hilfreich, Flächen der Form

zu betrachten, da sich die obige Fläche in Teilstücke dieses Typs zerlegen lässt, etwa so:

Solche Flächen können wir als Flächen unter dem Graphen einer nicht-negativen Funktion auffassen. In diesem Artikel wollen wir uns mit der Lösung dieses Problems befassen:

Betrachten wir zunächst einmal eine Funktion von sehr einfacher Form, für die unser Problem offenbar zu lösen ist, eine so genannte Treppenfunktion:

Für solche Funktionen ist es offensichtlich leicht, den Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen zu berechnen, sie setzt sich aus "Rechtecktürmchen" zusammen:

Der Flächeninhalt der Gesamtfläche ist dann die Summe der Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke, also gerade

wobei \Delta x_i die Länge der Abszissenabschnitte bezeichne, c_i die Höhe der Türmchen. Gut, aber das hätten wir auch schon vorher gekonnt. Wenn wir nun aber eine allgemeine Funktion

betrachten, so können wir unser Wissen über Treppenfunktionen anwenden, um die gesuchte Fläche zu approximieren: Unterteilen wir nämlich unser Grundintervall durch Wahl einiger Unterteilungspunkte und betrachten wir dann auf den sich ergebenden Teilintervallen die jeweils minimalen und maximalen Funktionswerte, so haben wir die gesuchte Fläche von innen und von außen durch folgende Türmchenflächen eingeschachtelt (die Gesamtfläche der großen Türme heißt Obersumme, die der kleinen Türmchen Untersumme):

Offensichtlich ist

Verkleinern wir nun die Unterteilungsintervalle, so erhalten wir eine neue Ober- und eine neue Untersumme, dabei wird die Approximation der gesuchten Fläche besser:

Durch fortgesetzte Unterteilung können wir unsere Approximation verbessern, wie folgende Bilder zeigen:

Wir erhalten nun für jede Anzahl n von Unterteilungsintervallen eine Obersumme und damit eine Folge (O_n)_{n\in\mathbb{N}} von Obersummen und auf gleiche Weise eine Folge (U_n)_{n\in\mathbb{N}} von Untersummen. Für die zu berechnende Fläche I gilt hierbei für alle n\in\mathbb{N}:

Konvergieren nun (O_n)_{n\in\mathbb{N}} und (U_n)_{n\in\mathbb{N}} gegen denselben Grenzwert L, so gilt I=L, wir haben also unseren Flächeninhalt I berechnet. Dabei ist man nicht an eine bestimmte "Strategie" der Unterteilung gebunden, meistens wird man jedoch das Intervall in Teile gleicher Länge zerlegen. Manchmal kann es aber hilfreich sein, eine andere Unterteilung zu wählen.

Beispiel

Wir wollen den Flächeninhalt unter der Normalparabel über dem Intervall [0,1] berechnen, also folgende Fläche:

Wir betrachten die durch f: [0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2 gegebene Funktion. Als ersten Schritt wollen wir zunächst einmal einige Ober- und Untersummen berechnen: Unterteilen wir unser Intervall in zwei Teile der Länge \frac{1}{2},

so sind im ersten Teilintervall die extremalen Funktionswerte

und im zweiten

Es ergibt sich

als Ober- bzw. Untersumme. Damit haben wir als erste Approximation für unsere gesuchte Fläche

oder

Dies ist offensichtlich nur eine erste Approximation für den gesuchten Wert. Als nächsten wollen wir O_3 und U_3 berechnen, wir unterteilen also unser Intervall in drei Teile

Die extremalen Werte der Funktion auf den Teilintervallen liegen wieder am Rand des jeweiligen Intervalls, da f eine monotone Funktion ist. Die Extremalwerte auf den jeweiligen Intervallen sind

Damit haben wir als Unter- und Obersumme

Als zweite Approximation für den gesuchten Flächeninhalt ergibt sich

oder approximativ

Nun wollen wir Ober- und Untersummen für allgemeines n berechnen, dazu unterteilen wir also zunächst das Intervall [0,1] durch n-1 äquidistante Punkte, so dass wir n Teilintervalle der Länge \frac{1}{n} haben:

Wir erhalten für die Obersumme

und als Untersumme ergibt sich

Nun haben wir die Folge der Ober- und der Untersummen auf Konvergenz zu untersuchen (mehr zu Grenzwerten von Folgen finden Sie hier), es ist

und

Der Flächeninhalt ist also \frac{1}{3}.

Als weiteres Beispiel wollen wir nun die Fläche unter dem Graphen der Funktion f: [0,a] \to \mathbb{R}, x \mapsto x^3 berechnen, wobei a eine beliebige positive reelle Zahl sei.

Zunächst unterteilen wir also [0,a] wieder äquidistant

und berechnen dann die Ober- und Untersummen. Wir erhalten hier

als Untersumme und

als Obersumme. Es ist

die gesuchte Fläche ist also \frac{a^4}{4}.

"Integral"

Da Flächen unter Funktionsgraphen, wie eingangs erläutert, eine zentrale Rolle bei der Berechnung krummlinig berandeter Flächen spielen, hat man einem solchen Flächeninhalt einen eigenen Namen gegeben, der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion f: [a,b] \to \mathbb{R} und der Abszissenachse heißt Integral von f über [a,b] und wird mit

bezeichnet. Wir können die Ergebnisse unserer beiden Beispiele also auch als

notieren.

Wir haben nun also eine Methode gefunden, den Flächeninhalt des Archetyps einer krummlinig begrenzten Fläche zu berechnen. Man unterteile das Intervall, berechne Ober- und Untersummen und gehe zum Grenzwert über. Dies ist aber im Allgemeinen kein gangbares Verfahren, oft kann man den Grenzwert der Ober- und Untersummen nicht oder nur mit sehr großem Aufwand bestimmen.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Unser nächstes Ziel ist es, mit Hilfe unserer Ober- und Untersummenkonstruktion eine bessere Berechnungsmethode zu konstruieren. Mittel dazu wird der so genannte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sein, er besagt, dass unsere Flächenberechnung und die Differentiation erstaunlicherweise in gewissem Sinne zueinander inverse Operationen sind.

Sei f: [a,b] \to \mathbb{R} gegeben. Wir betrachten nun für ein x zwischen a und b die Fläche von f über dem Intervall [a,b] und nennen sie F(x):

Damit haben wir eine Funktion F: [a,b] \to \mathbb{R} definiert. Der Hauptsatz ist nun folgende Aussage:

Die oben definierte Funktion F ist differenzierbar mit Ableitung f .

Wir wollen im Folgenden erläutern, warum der Hauptsatz richtig ist¹⁾:
Differenzierbarkeit von F bedeutet doch, dass der Grenzwert von

für h \to 0 existiert. Für kleine h ist doch nun aber F(x+h)-F(x) gerade folgender Flächeninhalt Dieser kann doch nun aber durch ein Rechteck mit der Breite h und der Höhe f(x) approximiert werden, also

Damit ist dann

und der Hauptsatz besagt gerade, dass für stetiges f im Limes h \to 0 Gleichheit gilt.

Dies gibt uns eine Möglichkeit, Flächeninhalte von Flächen unter Funktionsgraphen durch Bestimmen einer so genannten Stammfunktion - das ist eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ist - zu berechnen. Und zwar wie folgt: Um die Fläche unter dem Graphen einer Funktion f: [a,b] \to \mathbb{R} zu bestimmen, berechne man zunächst eine Stammfunktion F von f , der gesuchte Flächeninhalt berechnet sich dann als F(b)-F(a), mehr zu diesem Themenkomplex finden Sie hier.

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1) Die Begründung dient nur zur Motivation und stellt keinen exakten mathematischen Beweis dar.