Komplexe Zahlen

1. Hintergrund

Jedem ist wohl bekannt, dass 2 die Wurzel aus 4 ist, obwohl der Begriff die Wurzel hier nicht so genau stimmt, da ja -2 auch eine Wurzel von 4 ist. Man hat sich jedoch darauf geeinigt, die positive Wurzel als die Wurzel einer Zahl zu bezeichnen. (Siehe dazu auch den Artikel über die Hierarchie der Zahlen.)
Wohl bekannt ist ebenso die Tatsache, dass sich gewisse Schwierigkeiten dabei ergeben, wenn man aus einer negativen reellen Zahl die Wurzel ziehen möchte, z.B. aus -1. Dieses Problem ist gleichbedeutend mit der Suche nach einer Lösung der Gleichung x² + 1 = 0. Man hat also eine nicht lösbare quadratische Gleichung. Durch die Hilfe der pq-Formel wissen wir bereits wie wir quadratische Gleichungen lösen, wenn sie denn lösbar sind. Jedoch gibt es, wie oben gesehen, auch solche, für die keine Lösung existiert. Dies sind genau die Gleichungen, bei denen in der Lösung die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl benötigt würde.
Will man also alle quadratischen Gleichungen lösen können, so muss man den Zahlbereich der reellen Zahlen erweitern.

2. Die imaginäre Einheit

Zunächst lässt sich das Problem dadurch lösen, dass man einfach Wurzeln aus negativen Zahlen, wie die Wurzel aus -1 akzeptiert.
Dieses Prinzip wurde bereits im 15. Jahrhundert verwendet und aus dieser Zeit stammt auch der Ausdruck der imaginären Zahlen. Hierbei wird die imaginäre Einheit als i := √-1 definiert.
(Auch diese Schreibweise ist wieder nicht vollkommen korrekt, da ja mit i natürlich auch -i eine Wurzel aus -1 sein muss. Es ist daher besser zu sagen, wir definieren i durch die Eigenschaft: i² = -1.)
Betrachtet man nun nicht mehr die Zahlengerade der reellen Zahlen, sondern die Zahlenebene, in welcher jede Zahl einen reellen und einen imaginären Anteil besitzt, als Grundmenge, so lassen sich alle quadratischen Gleichungen lösen. Es gilt sogar noch viel mehr, es lassen sich sogar alle Gleichungen der Gestalt

a₀+a₁x+a₂x²+ ··· +a_nxⁿ = 0

lösen (dazu später mehr).

3. Die Komplexen Zahlen

Definition (Geometrische Darstellung)

Die komplexen Zahlen sind nun also genau jene Zahlentupel (a,b) aus R², wo der erste Eintrag den Realteil und der zweite Eintrag den Imaginärteil beschreibt.

Wie man leicht erkennt sind die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen, da diese genau die komplexen Zahlen mit imaginärem Anteil 0 sind. In der Zahlenebene stellen die reellen Zahlen also genau die waagerechte Achse dar.
Es gilt, dass zwei komplexe Zahlen genau dann gleich sind, wenn ihre Real- und Imaginärteile jeweils gleich sind, d.h. (a,b) = (c,d) ⇔ a = c und b = d.

Rechnen mit komplexen Zahlen

Jetzt müssen natürlich auch für die komplexen Zahlen die üblichen Rechenoperationen und -gesetze gelten, wie vorher für die reellen Zahlen, d.h. es müssen eine Addition und eine Multiplikation definiert werden, die folgende Bedingungen erfüllen:

Es muss ein additiv neutrales Element existieren, d.h. es muss eine komplexe Zahl z geben, so dass für jede andere komplexe Zahl w gilt: z + w = w.
Dieses additiv neutrale Element wird üblicherweise mit 0 bezeichnet.
Es muss zu jeder komplexen Zahl ein additiv Inverses existieren, d.h. zu jeder komplexen Zahl z muss eine weitere komplexe Zahl -z existieren, so dass z + (-z) = 0 gilt.
Die Addition muss kommutativ sein.
Die Addition muss assoziativ sein.
Es muss ein multiplikativ neutrales Element existieren, d.h. es muss eine komplexe Zahl z geben, so dass für jede andere komplexe Zahl w gilt: z * w = w.
Dieses multiplikativ neutrale Element wir üblicherweise mit 1 bezeichnet.
Es muss für jede komplexe Zahl außer der 0 ein multiplikativ Inverses existieren, d.h. zu jeder komplexen Zahl z ≠ 0 muss eine weitere komplexe Zahl z^-1 existieren, so dass z * (z^-1) = 1 gilt.
Die Multiplikation muss kommutativ sein.
Die Multiplikation muss assoziativ sein.
Es muss das Distributivgesetz gelten.

Definition der Rechenoperationen:

Die Addition:
Wir definieren für komplexe Zahlen z=(a,b) und w=(c,d) : z + w := (a+c,b+d).
(Wir addieren also komponentenweise.)
Es ist klar, das z + w wieder eine komplexe Zahl ist.

Die Multiplikation:
Wir definieren für komplexe Zahlen z=(a,b) und w=(c,d) : z * w := (a*c-b*d,a*d+b*c).
Auch hier sieht man direkt, dass z * w wieder eine komplexe Zahl ist.
Beachte, dass hier nicht, wie vielleicht intuitiv angenommen (a,b)*(c,d)=(a*c,b*d) definiert wird (also komponentenweise Multiplikation), da dann die im folgenden nachgewiesenen Rechenregeln für die Multiplikation nicht stimmen würden.

Nachweis der Rechenregeln

Das neutrale Element bezüglich der Addition (0) ist die komplexe Zahl (0,0).
Wie man leicht sieht gilt für jede komplexe Zahl (a,b): (a,b) + (0,0) = (a+0,b+0) = (a,b).
Das additiv Inverse einer komplexen Zahl (a,b) ist (-a,-b).
Auch hier erkennt man leicht, dass (a,b) + (-a,-b) = (a-a,b-b) = (0,0) gilt.
Kommutativgesetz der Addition:
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) = (c+a,d+b) = (c,d) + (a,b).
Assoziativgesetz der Addition:
[(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (a+c,b+d) + (e,f) = (a+c+e,b+d+f) = (a,b) + (c+e,d+f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)].
Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation (1) ist die komplexe Zahl (1,0).
Für jede komplexe Zahl (a,b) gilt nun (a,b) * (1,0) = (a*1-b*0,a*0+b*1) = (a,b).
Das multiplikativ Inverse einer komplexen Zahl (a,b) ist (a/(a² + b²),-b/(a² + b²)).
Es gilt dann: (a,b) * (a/(a² + b²),-b/(a² + b²)) = (a*a/(a²+b²) - b*(-b/(a²+b²)),a*(-b/(a² + b²)) + b*a/(a² + b²)) = ((a²+b²)/(a²+b²),(-ab+ab)/(a²+b²)) = (1,0).
Die etwas komplizierte Form des multiplikativen Inversen liegt an der Definition der Multiplikation.
Kommutativität der Multiplikation:
(a,b) * (c,d) = (a*c-b*d,a*d+b*c) = (c*a-d*b,d*a+c*b) = (c,d) * (a,b).
Assoziativität der Multiplikation:
[(a,b)*(c,d)]*(e,f) = (a*c-b*d,a*d+b*c)*(e,f) = ((a*c-b*d)*e-(a*d+b*c)*f,(a*c-b*d)*f+(a*d+b*c)*e) = (a*c*e-b*d*e-a*d*f-b*c*f,a*c*f-b*d*f+a*d*e+b*c*e) = (a*(c*e-d*f)-b*(d*e+c*f),a*(d*e+c*f)+b*(c*e-d*f)) = (a,b)*(c*e-d*f,c*f+d*e) = (a,b)*[(c,d)*(e,f)].
Das Distributivgesetz:
(a,b)*[(c,d)+(e,f)] = (a,b)*(c+e,d+f) = (a*(c+e)-b*(d+f),a*(d+f)+b*(c+e)) = (a*c+a*e-b*d-b*f,a*d+a*f+b*c+b*e) = (a*c-b*d,a*d+b*c)+(a*e-b*f,a*f+b*e) = (a,b)*(c,d)+(a,b)*(e,f).

Somit können wir nun mit den komplexen Zahlen genauso rechnen, wie mit den reellen Zahlen.
Ebenfalls analog zum Rechnen mit reellen Zahlen sind die Subtraktion und die Division definiert:

(a,b) - (c,d) := (a,b) + (-c,-d).
Das Abziehen von (c,d) ist also als Addition mit dem additiv Inversen von (c,d) definiert.
(a,b) / (c,d) := (a,b) * (c,d)^-1 = (a,b) * (c/(c²+d²),-d/(c²+d²)).
Auch das Teilen durch (c,d) ist somit als Multiplikation mit den multiplikativ Inversen von (c,d) definiert.

Zu beachten ist, dass man genauso wie in den reellen Zahlen nicht durch das additiv neutrale Element, d.h. nicht durch die komplexe Zahl (0,0) teilen darf.

Hier noch der Nachweis, dass die intuitive Definition der Multiplikation (a,b)*(c,d) := (a*c,b*d) zu Problemen führen würde:
Bei dieser Definition wäre natürlich das multiplikativ neutrale Element (1,1), da ja (a,b)*(1,1) = (a*1,b*1) = (a,b) gelten würde. Somit wäre auch das multiplikativ Inverse einer komplexen Zahl (a,b) durch (a^-1,b^-1) = (1/a,1/b) gegeben, was ebenfalls der Intuition entsprechen würde, da ja (a,b) * (a^-1,b^-1) = (a*a^-1,b*b^-1) = (a/a,b/b) = (1,1) gelten würde.
Das sich daraus ergebende Problem wäre allerdings, dass man für alle komplexen Zahlen mit Real- oder Imaginärteil 0 kein multiplikativ Inverses angeben könnte, da man in diesen Fällen in den reellen Zahlen durch 0 teilen müsste, was bekanntlich nicht möglich ist. Da jedoch für alle komplexen Zahlen außer der (0,0) ein multiplikativ Inverses existieren soll, kann diese Definition nicht der richtige Ansatz sein. Insbesondere hätten ja nicht einmal die reellen Zahlen ≠ 0 ein multiplikativ Inverses, da sie ja genau die komplexen Zahlen mit Imaginärteil 0 sind.

Algebraische Interpretation

Wie bereits oben erläutert gibt es die imaginäre Einheit i, für die gilt: i² = -1.
Somit lassen sich alle komplexen Zahlen (a,b) schreiben als a+i*b.
Wählt man diese Schreibweise, so lässt es sich damit häufig leichter rechnen. Hier erkennt man auch einfach, warum man die im ersten Moment doch etwas komisch erscheinende Definition der Multiplikation wählt:
(a,b) * (c,d) = (a+i*b) + (c+i*d) = a*c + a*i*d + i*b*c + i*b*i*d = a*c + i*a*d + i*b*c + i²*b*d = a*c - b*d + i*(a*d+b*c) = (a*c-b*d,a*d+b*c).

Einen wichtigen Unterschied zu den reellen Zahlen gibt es allerdings auch, der sich ebenso an dieser Darstellung ablesen lassen kann. Für die komplexen Zahlen gibt es keine Ordnung, für die die Monotoniegesetze gelten. Es ist also nicht zu beantworten, welche von zwei komplexen Zahlen die größere ist. Dies wollen wir hier kurz erläutern:
Gäbe es eine solche Ordnung, so müsste entweder i < 0 oder i > 0 gelten, da i = 0 nicht sein kann, denn der Imaginärteil von 0 ist 0 und der von i ist 1.
Wäre nun also i > 0, so kann man beide Seiten mit i multiplizieren, ohne dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht, d.h. i² > 0*i, also -1 > 0, was offensichtlich nicht stimmt.
Somit muss also i < 0 gelten. Dann jedoch kann man analog beide Seiten mit i multiplizieren und das Ungleichheitszeichen muss sich umdrehen, da i laut Annahme negativ ist. Man erhält also i² > 0*i, also -1 > 0, was wie oben schon erwähnt nicht stimmen kann.
i kann also weder größ, noch kleiner, noch gleich 0 sein, ist also mit 0 nicht vergleichbar. Es existiert somit keine Ordnung auf den komplexen Zahlen, für die die Monotoniegesetze gelten.

Trigonometrische Darstellung

Eine weitere Möglichkeit, die komplexen Zahlen darzustellen ist die Folgende:
Wie wir bereits gesehen haben, lässt sich jede komplexe Zahl als Punkt in der Ebene durch zwei Koordinaten eindeutig darstellen.

Jeden Punkt in der Ebene kann man aber auch dadurch identifizieren, indem man seinen Abstand zum Ursprung, d.h. zum Punkt (0,0) angibt und den Winkel, den der Vektor mit der waagerechten Achse einschließt. Den Abstand zum Ursprung bezeichnen wir mit r und den Winkel mit φ.

Nun lässt sich jede komplexe Zahl z schreiben als z = (r,φ), wobei der Abstand zum Ursprung jede beliebige nicht negative reelle Zahl sein darf , d.h. r ≥ 0 und für den Winkel 0 ≤ φ < 2π gelten muss, da bei Drehung eines Vektors um 2π um den Koordinatenursprung, wieder der ursprüngliche Vektor herauskommt. Diese Darstellung nennt man Polarkoordinatendarstellung.
Zu beachten ist hierbei noch, dass die Darstellung im Koordinatenursprung nicht eindeutig ist, da man diesen Punkt für jeden beliebigen Winkel erhält, wenn man r = 0 setzt.
Die Polarkoordinatendarstellung ist insbesondere für die Multiplikation von Vorteil, da man bei der Multiplikation nur die Abstände zum Ursprung multiplizieren und die Winkel addieren braucht. Es gilt also: (r₁,φ₁) * (r₂,φ₂) = (r₁*r₂,φ₁+φ₂).

Umrechnung zwischen der Darstellung als Zahlenpaar und der Polarkoordinatendarstellung:
Sei also eine komplexe Zahl in der Polarkoordinatendarstellung als (r,φ) gegeben.
Betrachten wir zunächst den Fall r = 1.
Wenn wir uns an die trigonometrischen Funktionen erinnern, dann wissen wir, dass im Einheitskreis folgendes gilt:

a = cosφ und b = sinφ.
Ist nun r beliebig, so gilt: a = r*cosφ und b = r*sinφ.
In der algebraischen Schreibweise lässt sich (r,φ) also schreiben als r*cosφ + i*r*sinφ = r*(cosφ+i*sinφ).
Sei nun eine komplexe Zahl in der Darstellung als Zahlenpaar (a,b) gegeben. Dann ist der Abstand zum Ursprung durch den Satz von Pythagoras zu errechnen durch r = √(a²+b²), also die Wurzel der Summe der Quadrate von Real- und Imaginärteil.
Der Winkel ist dann wegen a = r*cosφ (bzw. b = r*sinφ) zu berechnen durch φ = cos^-1(a/r) (bzw. φ = sin^-1(b/r)).

Nun können wir nachweisen, dass die oben genannte Regel für die Multiplikation in der Polarkoordinatendarstellung wirklich gilt:
(r₁,φ₁) * (r₂,φ₂)
= r₁*(cosφ₁+i*sinφ₁)*r₂*(cosφ₂+i*sinφ₂)
= r₁*r₂*(cosφ₁+i*sinφ₁)*(cosφ₂+i*sinφ₂)
= r₁*r₂*(cosφ₁*cosφ₂+i*sinφ₁*cosφ₂+cosφ₁*i*sinφ₂+i*sinφ₁*i*sinφ₂)
= r₁*r₂*[cosφ₁*cosφ₂-sinφ₁*sinφ₂+i*(sinφ₁*cosφ₂+cosφ₁*sinφ₂)]
= r₁*r₂*[cos(φ₁+φ₂) + i*sin(φ₁+φ₂)]
= (r₁*r₂,φ₁+φ₂).
Im vorletzten Schritt haben wir hier die Additionstheoreme für Winkelfunktionen benutzt.

Exponentialdarstellung

Eine weitere Möglichkeit komplexe Zahlen darstellen zu können soll hier noch erwähnt werden, die Exponentialdarstellung. Da für diese Darstellung die Exponentialfunktion auf komplexe Zahlen erweitert werden muss und wir hier nicht die Möglichkeit haben, dies in vollem Umfang zu erläutern, werden wir diese Darstellung nur erwähnen und verweisen Interessierte auf die einschlägige Literatur.
Die Exponentialdarstellung leitet sich direkt aus der trigonometrischen Darstellung und der Eulerschen Formel für komplexe Zahlen ab. Diese lautet folgendermaßen:

e^iφ = cosφ + i*sinφ

Damit lässt sich nun eine komplexe Zahl, welche in der trigonometrischen Darstellung die Koordinaten z = (r,φ) besitzt darstellen als z = re^iφ.

Warnung: Die ganze Sache ist soger noch etwas komplizierter, da die Exponentialfunktion im Komplexen mehrere Zweige besitzt und man sich hier auch den Hauptzweig beschränkt.

4. Fundamentalsatz der Algebra

Nun kommen wir noch zu der oben behaupteten Aussage, dass jede Gleichung der Form

a₀+a₁x+a₂x²+ ··· +a_nxⁿ = 0

in den komplexen Zahlen lösbar ist. Diese Behauptung ist der Fundamentalsatz der Algebra und es gilt sogar:

Im Bereich C der komplexen Zahlen besitzt jede Gleichung der Form

a₀+a₁x+a₂x²+ ··· +a_nxⁿ = 0

(mit a_i, z aus C, n aus N und a_n ≠ 0) genau n Lösungen, wobei Mehrfachlösungen gemäß ihrer Vielfachheit gezählt werden.

Den Beweis werden wir an dieser Stelle nicht führen, da er doch etwas mehr Mathematik erfordert, er findet sich aber in den meisten guten Analysis-Büchern.