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Kurvendiskussion

Das Problem

Ziel einer Kurvendiskussion ist die graphische Darstellung einer Funktion. Dazu muss man den Verlauf der Funktion analysieren, um lokale und globale Veränderungen erkennen zu können. Man untersucht die Funktion hinsichtlich wichtiger charakteristischer Eigenschaften, zum Teil unter Benutzung von Methoden der Differentialrechnung. Dabei geht es vor allem um das Vorhandensein und die Lage von Nullstellen, Singularitäten, Definitionslücken, Unendlichkeitsstellen, Polen, Asymptoten, lokalen Extrema, Sattelpunkten, Wendestellen und Wendetangenten, manchmal auch um Eigenschaften wie Monotonie, Konvexität, Links- oder Rechtskrümmung. All diese Eigenschaften einer Funktion lassen sich als Eigenschaften ihres Graphen ausdrücken.

Die Lösung

Zur Bearbeitung einer Kurvendiskussion kann man in folgenden Schritten vorgehen:

  1. Man gebe den gültigen Definitionsbereich an, indem man die Zahlen bestimmt, die man nicht einsetzen darf, d.h. bei gebrochen-rationalen Funktionen die Nullstellen der Nennerfunktion, bei Wurzelfunktionen die negativen Radikanden oder bei der Logarithmusfunktion die nicht positiven Argumente.
  2. Teste das Verhalten an den Definitionslücken:
    Dazu stellt man Grenzwertbetrachtungen an. Bei gebrochen-rationalen Funktionen faktorisiert man Zähler und Nenner, indem man die Nullstellen des Zähler- resp. Nennerpolynoms bestimmt. Wenn sich der die Definitionslücke bewirkende Faktor im Nenner wegkürzen lässt, ist es eine hebbare Definitionslücke.
    Wenn er sich nicht vollständig wegkürzen lässt und der verbleibende Exponent ungerade ist, liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Bei geradem Exponent handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
  3. Asymptoten:
    • senkrechte Asymptoten:
      Wenn die Definitionslücke x0 eine Polstelle ist, dann ist die Gerade x = x0 eine senkrechte Asymptote des Graphen von f.
    • schiefe Asymptoten:
      Nähert sich eine Funktion bei wachsendem x einer Geraden immer mehr an, dann nennt man diese Gerade eine schiefe Asymptote. Gebrochen-rationale Funktionen können schiefe Asymptoten haben, wenn der Zählergrad um höchstens eins größer ist als der Nennergrad. Die Geradengleichung der Asymptote bekommt man dann durch Polynomdivision. Der Ausdruck vor dem Restterm ergibt dann die Asymptotengleichung.
  4. Teste die Symmetrieeigenschaften:
    Dabei heißt eine Funktion achsensymmetrisch (zur y-Achse), wenn gilt: f(-x) = f(x)
    Sie heißt punktsymmetrisch (zum Ursprung), wenn gilt: f(-x) = -f(x)
  5. Schnittpunkte der Funktion mit den Achsen:
    Den Schnittpunkt mit der y-Achse erhält man, indem man x=0 einsetzt. Dann ist f(0) der y-Wert und x=0 der x-Wert des Schnittpunkts.
    Schnittpunkte mit der x-Achse, die so genannten Nullstellen, erhält man, indem man f(x)=0 setzt und dann nach x auflöst. Dann ist y=0 der y-Wert und die Nullstelle(n) der x-Wert der Schnittpunkte.
  6. Extrema (Maxima und Minima):
    Maxima und Minima einer Funktion sind Kurvenpunkte, die in einer gewissen Umgebung die größten bzw. kleinsten Funktionswerte haben. Extremstellen sind die x-Werte solcher Extrempunkte. Zur Berechnung gehe man so vor:
    • Man berechne die erste Ableitung, setze sie gleich Null, also f'(x)=0 (notwendige Bedingung), und löse diese Gleichung auf. Bezeichne die Lösungen der Größe nach mit x1, x2,..., xn, so dass x1 < x2 <...< xn gilt.
    • Man berechne die zweite Ableitung, f''(x), und setze die x1,...,xn nacheinander in diese ein.
      Man teste f''(xk) ungleich 0 (hinreichende Bedingung):
      Gilt f''(xk) < 0, dann hat f an der Stelle xk ein Maximum.
      Ist f''(xk) > 0, dann ist bei xk ein Minimum.
      Bei f''(xk) = 0 untersucht man, ob f' an der Stelle xk einen Vorzeichenwechsel hat. Dazu nimmt man einen Wert a, der zwischen xk und der nächstkleineren Stelle xk-1 liegt, und einen Wert b zwischen xk und der nächstgrößeren Stelle xk+1. Wenn es keine nächstgrößere bzw. nächstkleinere Stelle gibt, wähle a < xk bzw. xk < b. Ist f'(a)>0 und f'(b)<0, dann ist bei xk ein Maximum. Ist f'(a)<0 und f'(b)>0, dann ist bei xk ein Minimum. Haben f'(a) und f'(b) dasselbe Vorzeichen, dann ist bei xk kein Extremum.
    • Man berechne zu jeder Extremstelle xk den Funktionswert f(xk) und schreibe den dazugehörigen Extrempunkt (xk , f(xk)) auf.
  7. Wendepunkte:
    Wendepunkte sind anschaulich gesehen Kurvenpunkte, bei denen die Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht, oder umgekehrt. Die Wendepunkte erhält man mit demselben Schema wie die Extrempunkte, nur dass man f' durch f'' und f'' durch f''' ersetzt:
    • Man berechne die Nullstellen x1, x2,..., xn von f'', also f''(xk)=0 (notwendige Bedingung).
    • Man setze diese Nullstellen in f''' ein. Ist f'''(xk) ungleich 0 (hinreichende Bedingung), dann ist dort ein Wendepunkt. Falls f'''(xk) =0 prüfe man wie bei den Extrempunkten, ob f'' dort ein Vorzeichenwechsel hat. Falls ja, dann ist bei xk ein Wendepunkt, falls nicht, dann nicht.
    • Man setze alle erhaltenen Wendestellen xk in die Funktion f ein und schreibe die zugehörigen Wendepunkte auf.
    • Wendepunkte, bei denen die erste Ableitung auch Null ist, heißen Sattelpunkte.
  8. Nun sollte eine Wertetabelle der gefundenen Werte angelegt werden, um die Skizze des Graphen anzufertigen.
  9. Zum Schluss wird der Funktionsgraph in einer Skizze dargestellt.

Beispiele

  • f(x) = (2x-6)/(x+2)

    1. Definitionsbereich:
      Da der Nenner nie Null werden darf, ist die Funktion an dessen Nullstellen nicht definiert.
      x+2 = 0 <=> x = -2
      Also ist der Definitionsbereich D = R\{-2}
    2. Verhalten an der Definitionslücke:
      Der rechtsseitige Grenzwert der Funktion für x gegen -2 ist -unendlich und der linksseitige ist +unendlich.
    3. Asymptoten:
      • senkrechte Asymptote (Pol):
        x+2 = 0 <=> x = -2
        Da sich der Linearfaktor nicht vollständig wegkürzen lässt und der verbleibende Exponent ungerade ist, handelt es sich bei x = -2 um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
      • schiefe Asymptote:
        Der Grenzwert der Funktion geht für x gegen unendlich bzw. -unendlich gegen 2. Also ist bei y = 2 eine waagerechte Asymptote.
    4. Symmetrie:
      Es liegt keine Achsensymmetrie vor, da f(-x) = (-2x-6)/(-x-2) ungleich (2x-6)/(x+2) = f(x)
      Es liegt keine Punktsymmetrie vor, da f(-x) = (-2x-6)/(-x-2) ungleich -((2x-6)/(x+2)) = (-2x+6)/(-x-2) = -f(x)
    5. Schnittpunkte mit den Achsen:
      • y-Achse:
        x = 0 => f(0) = (2*0-6)/(0+2) = -6/2 = -3 , also ist Y(0,-3) der Schnittpunkt.
      • x-Achse:
        y = 0 => (2x-6)/(x+2) = 0 <=> 2x-6 = 0 <=> x= 6/2 = 3 , also ist X(3,0) der Schnittpunkt.
    6. Extrema:
      f'(x) = 10/(x+2)2
      Da der Zähler nie Null werden kann, hat die 1. Ableitung keine Nullstellen und somit existieren keine Extrema.
    7. Wendepunkte:
      f''(x) = -20/(x+2)3
      Da der Zähler nie Null werden kann, hat die 2. Ableitung keine Nullstellen und somit existieren keine Wendepunkte.
    8. Wertetabelle:
      X Y Pol waagerechte Asymptote linksseitiger Grenzwert rechtsseitiger Grenzwert
      x 3 0-2unendlich-unendlich
      y0-3222
    9. Skizze:

  • f(x) = x3-6x2+9x

    1. Definitionsbereich:
      Der Definitionsbereich ist D = R , da man f(x) für jedes x berechnen kann. Denn es handelt sich hier nicht um eine gebrochen-rationale Funktion (deren Nenner nicht Null werden darf), Wurzelfunktion (deren Radikand nicht negativ sein darf) oder Logarithmusfunktion (die für negative Argumente nicht definiert ist), deren Definitionsbereiche gesondert betrachtet werden müssen.
    2. Da es keine Definitionslücken gibt, muss dieser Punkt nicht behandelt werden.
    3. Asymptoten:
      An dieser Stelle werden die Grenzwerte bei Polynomen berechnet.
      Für x gegen unendlich geht auch f(x) gegen unendlich, da lim x3-6x2+9x = lim x3(1-6/x+9/x2) = unendlich.
      Für x gegen -unendlich geht auch f(x) gegen -unendlich, da lim x3-6x2+9x = lim x3(1-6/x+9/x2) = -unendlich.
    4. Symmetrie:
      • Es liegt keine Achsensymmetrie vor, da f(-x) = -x3-6x2-9x ungleich x3-6x2+9x = f(x).
      • Es liegt keine Punktsymmetrie vor, da f(-x) = -x3-6x2-9x ungleich -x3+6x2-9x = -f(x).
    5. Schnittpunkte mit den Achsen:
      • y-Achse:
        x = 0 => f(x) = 03-6*02+9*0 = 0
        Also schneidet der Graph in Y(0,0)
      • x-Achse (Nullstellen):
        y = 0 <=> x3-6x2+9x = x(x2-6x+9) = 0 <=> x1 = 0 oder x2-6x+9 = 0 <=> x1 = 0 oder x2,3 = 3 .
        Also hat die Funktion eine einfache Nullstelle bei 1 und eine doppelte Nullstelle bei 3 in den Punkten X1(0,0) und X2,3(3,0).
    6. Extrema:
      f'(x) = 0 <=> 3x2-12x+9 = 0 <=> x2-4x+3 = 0 <=> x1 = 1 und x2 =3 .
      f''(x) = 6x-12 => f''(1) = -6 < 0 => Maximum bei x = 1 und f''(3) = 6 > 0 => Minimum bei x = 3.
      f(1) = 1-6+9 = 4 , also Maximum bei (1,4) und f(3) = 27-54+27 = 0 , also Minimum bei (3,0).
    7. Wendepunkte:
      f''(x) = 0 <=> 6x-12 = 0 <=> x1=2.
      f'''(x) = 6 => f'''(2)=6 > 0 => Wendepunkt bei x = 2 mit einer rechts-links Krümmung.
      f(2) = 8-24+18 = 2 , also Wendepunkt bei (2,2).
    8. Wertetabelle:
      X1X2,3YMax.Min.Wendepunktlinksseitiger Grenzwertrechtsseitiger Grenzwert
      x030132-unendlich+unendlich
      y000402-unendlich+unendlich
    9. Skizze:

Links

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