Banner der Website mathematik.de. Motiv: Überall ist Mathematik

Lineare Gleichungssysteme

Das Problem

Unter einem linearen Gleichungssystem mit m linearen Gleichungen und n Unbekannten (x1, x2, ... , xn) versteht man die folgende Form

wobei die aij (also: a11, a12, ... amn) und b1, b2, ... , bm (vorgegebene) Zahlen sind.

Die Zahlen (c1, c2, ... , cn) werden als Lösung bezeichnet, falls das Einsetzen dieser Werte (für die Unbekannten) in jeder Zeile zur Gleichheit führt; wenn also gilt:

Im Folgenden werden wir zeigen, wie man ein solches Lösungstupel (c1, c2,... , cn) findet (vorausgesetzt, das lineare Gleichungssystem ist lösbar, unten mehr hierzu).

Die Lösung

Es gibt zwei Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems. Zum einen das Einsetzungsverfahren und zum anderen das Additionsverfahren bzw. der Gaußsche Algorithmus.

Einsetzungsverfahren:
Beim Einsetzungsverfahren wird die i-te Gleichung (i=1,...,m) nach einer der Unbekannten xj (j=1...n) aufgelöst. Das Ergebnis von xj wird in eine andere Gleichung eingesetzt und diese Gleichung wird wieder nach einer Unbekannten aufgelöst. Dieses Schema wird solange fortgeführt, bis alle Unbekannten gelöst sind.
Das Einsetzungsverfahren ist nur für Gleichungssysteme einfacher Gestalt geeignet, wie z.B Gleichungssysteme mit nur zwei Unbekannten, oder Gleichungssysteme mit Gleichungen, die nur eine Unbekannte besitzen.

Beispiele

  • Beispiel 1:

    Das gesuchte Lösungstupel ist (2;3).

  • Beispiel 2:

    Das gesuchte Lösungstupel ist (1;4;2).

    Additionsverfahren und Gaußscher Algorithmus:

    Additionsverfahren: Beim Additionsverfahren (auch Eliminationsverfahren genannt) wird durch Addition zweier Gleichungen k und l (k,l=1...m; k ≠ l) die Unbekannte xj aus der k-ten Gleichung eliminiert. Dabei sind folgende drei Umformungsregeln , sog. elementare Zeilenumformungen erlaubt:
    1. Man darf zwei Gleichungen miteinander vertauschen.
    2. Man darf eine Gleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl multiplizieren.
    3. Man darf eine Gleichung zu einer anderen Gleichung addieren; genauer gesagt darf man eine Gleichung durch die Summe aus dieser und einer anderen Gleichung ersetzen.

  • Beispiel 3:

    Das gesuchte Lösungstupel ist (5;8).

    Gaußscher Algorithmus: Der Gaußsche Algorithmus besteht aus einer mehrfachen Wiederholung des Additionsverfahrens. Hierbei versucht man das Lineare Gleichungssystem durch die oben beschriebenen Umformungen in eine Dreiecksform zu kriegen (d.h. unterhalb der "Diagonalen" sind alle Koeffizienten Null).

    Lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten:


    Lineares Gleichungssystem in der Dreiecksform:

    Bei dieser Form hat das lineare Gleichungssystem in der 1-ten Gleichung alle n Unbekannten und in jeder nachfolgenden Gleichung eine Unbekannte weniger. Somit steht in der letzten Gleichung nur noch eine Unbekannte (xn), deren Lösung man leicht ablesen kann. Nun kann man diese Lösung in die vorletzte ((n-1)-te) Gleichung einsetzen und hat somit wieder nur noch eine Unbekannte (xn-1), welche man durch Auflösen der Gleichung ermitteln kann. Die Lösungen von xn und xn-1 werden in die (n-2)-te Gleichung eingesetzt, um xn-2 zu lösen. Dieses Verfahren wird wiederholt, bis man alle n Unbekannten ermittelt hat.

  • Beispiel 4:

    Das gesuchte Lösungstupel ist (-3;2;4;0).


    Anzahl der Lösungen bei einem linearen Gleichungssystem:

    Ein lineares Gleichungssystem kann entweder keine, eine oder unendlich viele Lösungen besitzen. Mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus kann man ermitteln, wieviele Lösungen das lineare Gleichungssystem besitzt.
    • Keine Lösung:
      Entsteht durch die Anwendung von Gauß eine Zeile, in der links vom Gleicheitszeichen eine Null steht und rechts eine Zahl ungleich Null, d.h. eine falsche Aussage, dann besitzt das lineare Gleichungssystem keine Lösung.
    • Eine Lösung:
      Ist nach der Anwendung des Gaußschen Algorithmus die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten, dann gibt es genau eine Lösung. (In dem Fall erhält man durch Umformungen die gewünschte Dreiecksform).
    • Unendlich viele Lösungen:
      Hat man nach Anwendung des Gaußschen Algorithmus weniger Gleichungen als Unbekannte, d.h. es sind Nullzeilen entstanden, bei denen links und rechts vom Gleicheitszeichen eine Null steht, dann besitzt das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. (In diesem Fall erhält man keine Dreiecksform sondern eine Trapezform).


  • Beispiel 5 (keine Lösung):


  • Beispiel 6 (eine Lösung):


  • Beispiel 7 (unendlich viele Lösungen):


Links

www.TM-Mathe.de

Sie haben eine Seite zum Thema?
Schreiben Sie uns! (mail[at]mathematik.de)