Matrizen

1. Einleitung

Ein wichtiges Prinzip in der Mathematik ist die Abstraktion realer Probleme in mathematische Konzepte und Systeme, was dann häufig dazu führt, auf schnellerem Weg zur Lösung kommen zu können. Eine dieser Abstraktionen, welche in vielen Fällen Anwendungsmöglichkeiten bereithält, ist die Matrizen-Schreibweise.
Im Folgenden wollen wir zunächst definieren, um was es sich dabei genau handelt, und einige Ergebnisse aufzeigen, die uns in die Lage versetzen, diese Schreibweise sinnvoll und hilfreich einsetzen zu können.

2. Definition

Eine Matrix A vom Typ (m,n) nennt man ein System von m mal n Elementen (häufig handelt es sich hierbei um reelle Zahlen), welche in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind:

Eine andere Schreibweise ist A = (a_ij)_{i=1,...,m, j=1,...,n}.
(Die Schreibweise A_(m,n) wird ebenfalls benutzt, um anzuzeigen, dass es sich bei der Matrix A um eine Matrix vom Typ (m,n) handelt.)
Bei allen Schreibweisen ist die Reihenfolge der Indizes wichtig, da jeweils der erste die Zeile und der zweite die Spalte angibt. Der Eintrag a_ij kennzeichnet also das Element der Matrix, welches sich in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte befindet.

Beispiel für eine Matrix vom Typ (3,4):

In diesem Fall ist also beispielsweise a₁₂ = 16 und a₃₂ = -4.

Nun wollen wir noch auf einige Spezialfälle hinweisen:
Zum Einen gibt es die quadratischen Matrizen. Bei ihnen gilt m=n, was bedeutet, dass es sich um die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten handelt.
Ein weiterer Spezialfall sind die Matrizen vom Typ (1,n) bzw. (m,1). Diese werden meist auch als Vektoren bezeichnet, wobei die Vektoren vom Typ (m,1) als Spalten- und die vom Typ (1,n) als Zeilenvektoren bezeichnet werden. Im Normalfall werden die Einträge dann auch mit nur einem Index versehen:

Wie bereits erwähnt können die Einträge einer Matrix Elemente einer beliebigen Menge sein. Im Folgenden wollen wir uns jedoch auch den Fall der reellen Zahlen konzentrieren, welcher auch in den Anwendungen den größten Spielraum einnimmt.
Eine Matrix vom Typ (m,n) (auch m x n-Matrix genannt) stellt für uns jetzt also ein System von m mal n reellen Zahlen in einem rechteckigen Schema mit m Zeilen und n Spalten dar.

Bevor wir nun etwas konkreter werden und auch einige Rechenoperationen einführen, wollen wir noch den Begriff der transponierten Matrix A^T einführen. Darunter versteht man die Matrix, welche aus der Matix A hervorgeht, indem man die Zeilen und die Spalten vertauscht, d.h. (a_ij)_{i=1,...m, j=1,...n} = (a_ji)^T_{j=1,...n, i=1,...m}.

Beispiel:

Klar ist, dass A^TT = A gilt.

Ein letzter Spezialfall, den wir an dieser Stelle noch erwähnen wollen, ist die Nullmatrix 0. Dabei handelt es sich, wie der Name schon vermuten lässt, um eine Matrix bei der jeder Eintrag 0 ist.
(Die Nullmatrix ist somit unabhängig vom Typ definiert. Gemeint ist damit natürlich, dass es zu jedem Typ (m,n) eine Nullmatrix gibt.)

3. Quadratische Matrizen

Wie schon oben erwähnt, handelt es sich bei den quadratischen Matrizen um solche, bei denen die Zahl der Spalten gleich der Zahl der Zeilen ist. Eine typische quadratische Matrix hat also die Gestalt

Aufgrund ihrer speziellen Gestalt können nun unter den quadratischen Matrizen einige weitere interessante Spezialfälle auftreten:

3.1 Diagonalmatrizen D

Hierbei handelt es sich um quadratische Matrizen, welche höchstens auf der Diagonalen (von links oben nach rechts unten) von Null verschiedene Einträge besitzen, d.h. a_ij = 0 gilt, falls i ≠ j ist.
Allgemeine Gestalt:

Beispiel:

3.2 Einheitsmatrix E

Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall der Diagonalmatrizen. Sie ist nämlich diejenige Diagonalmatrix, bei der alle von Null verschiedenen Einträge gleich 1 sind, d.h. a_ii = 1 für alle i=1,...,n und a_ij = 0 für alle i ≠ j.
Gestalt:

Wir definieren das Kronecker-Symbol δ_ij durch δ_ii = 1, für alle i und δ_ij = 0, für alle i ≠ j. D.h. es ist immer gleich 0, wenn es sich um zwei verschidene Indizes handelt und gleich 1, bei gleichen Indizes.
Dann lässt sich die Einheitsmatrix schreiben als E = (δ_ij).

3.3 Obere (bzw. untere) Dreiecksmatrix R (bzw. L)

Bei oberen (bzw. unteren) Dreiecksmatrizen handelt es sich um solche quadratischen Matrizen, bei denen nur die Einträge auf oder rechts oberhalb (bzw. auf oder links unterhalb) der Diagonalen von Null verschieden sein dürfen, d.h. für R gilt a_ij = 0, falls i > j ist und für L gilt a_ij = 0, falls i < j ist.
Allgemeine Gestalt:

Beispiele:

3.4 Spur einer quadratischen Matrix

Für quadratische Matrizen A definiert man die Spur sp(A) als Summe der Einträge auf der Diagonalen, d.h. sp(A) = a₁₁ + a₂₂ + a_nn.

Beispiele:
Bei der Einheitsmatrix E erhält man damit genau die Anzahl der Zeilen (bzw. Spalten): sp(E) = n.
Ein weiteres Beispiel ist:

3.5 Symmetrische Matrizen

Bei symmetrischen Matrizen handelt es sich um solche quadratischen Matrizen, die gleich ihrer transponierten Matrix sind, d.h. für die A = A^T gilt.
Das ist genau dann der Fall, wenn a_ij = a_ji für alle i,j=1,...,n gilt.
Beispiel:

Anschaulich bedeutet A = A^T, dass man die Einträge der Matrix längs der Diagonalen spiegeln kann.

3.6 Antisymmetrische oder schiefsymmetrische Matrizen

Der Unterschied zu den symmetrischen Matrizen besteht hier darin, dass nicht die Gleichung A = A^T, sondern A = -A^T erfüllt sein muss. Es muss also a_ij = -a_ji für alle i,j=1,...,n gelten.
Wegen a_ii = -a_ii müssen in diesem Fall die Einträge auf der Diagonalen alle Null sein.
Beispiel:

Leicht zu erkennen ist, dass die Spur einer antisymmetrischen Matrix gleich Null ist, da ja alle Einträge auf der Diagonalen gleich Null sind.
(Beachte aber, dass die Umkehrung nicht gilt. Es gibt sehr wohl Matrizen mit Spur 0, die nicht antisymmetrisch sind.)

3.7 Normale Matrizen

Eine letzte Klasse von besonderen quadratischen Matrizen wollen wir an dieser Stelle noch vorstellen, auch wenn wir erst später genau erläutern können, was genau mit dieser Eigenschaft eigentlich gemeint ist.
Normale Matrizen sind solche quadratische Matrizen, für die die Gleichung AA^T = A^TA erfüllt ist, wobei wir erst im nächsten Abschnitt sehen werden, was mit der Multiplikation der Matrizen A und A^T gemeint ist.
Trotzdem können wir bereits einige Matrizen als normal identifizieren:
Sicherlich ist die geforderte Eigenschaft für symmetrische Matrizen erfüllt, da für diese ja sogar A = A^T gilt.
Ebenso sollte es nicht überraschen, dass sich herausstellen wird, dass auch antisymmetrische Matrizen normal sind, da sich in diesem Fall ja schließlich A und A^T nur um ein Vorzeichen unterscheiden, welches bei der Vertauschung der Multiplikationsreihenfolge keine Probleme bereiten wird.

4. Rechenoperationen für Matrizen

In diesem Abschnitt wollen wir die möglichen Rechenoperationen für Matrizen einführen, also die Frage klären, unter welchen Umständen es beispielsweise möglich ist, Matrizen zu addieren oder zu multiplizieren. Dass dies nicht in jedem Fall möglich ist, sollte verständlich erscheinen, da die Frage nach der Addition von Matrizen mit unterschiedlicher Anzahl von Zeilen oder Spalten doch schwierig zu beantworten erscheint.

4.1 Gleichheit von Matrizen

Auch für spätere Rechnungen ist es natürlich wichtig zu wissen, was wir meinen, wenn wir sagen zwei Matrizen seien gleich. Die Definition dafür ist naheliegend:
Zwei Matrizen A=(a_ij) und B=(b_ij) sind genau dann gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind (d.h. wenn sie die gleiche Anzahl Zeilen wie Spalten besitzen) und jeder ihrer Einträge gleich ist, d.h. für alle i=1,...,m und j=1,...,n gilt a_ij = b_ij.
(Beachte: Matrizen von verschiedenem Typ können nicht gleich sein. So ist beispielsweise die Nullmatrix vom Typ (3,2) nicht gleich der Nullmatrix vom Typ (2,3), auch wenn sie von uns mit dem gleichen Namen bezeichnet wird.)

4.2 Addition von Matrizen

Auch hierbei muss man sich auf Matrizen vom gleichen Typ beschränken, um eine Addition erklären zu können. Die funktioniert dann wie folgt:
Sind A = (a_ij)_{i=1,...,m, j=1,...,n} und B = (b_ij)_{i=1,...,m, j=1,...,n} vom gleichen Typ (m,n), so ist A + B := (a_ij+b_ij)_{i=1,...,m, j=1,...,n}.
Es werden also die einzelnen Einträge der Matrizen addiert.
Allgemeine Gestalt:

Beispiel:

Die Subtraktion wird analog definiert. Allgemeine Gestalt:

Beispiel:

Rechenregeln:

Es gelten das Kommutativ- und das Assoziativgesetz:

• A + B = B + A
• (A + B) + C = A + (B + C)

Die Regeln folgen direkt aus den Rechenregeln für reelle Zahlen.

Außerdem gilt die Gleichung (A+B)^T = A^T + B^T, was direkt aus der Definition der transponierten Matrix und der Addition folgt.

4.3 Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl

Eine Matrix A von beliebigem Typ (m,n) kann mit einer beliebigen reellen Zahl α multipliziert werden, indem jeder Eintrag der Matrix a_ij mit α multipliziert wird, d.h. α*A = α*(a_ij) = (α*a_ij).
Allgemeine Darstellung:

Beispiel:

Rechenregeln:

Auch hier gelten die zu erwartenden Rechenregeln:

• Kommutativgesetz α*A = A*α (wobei hier erwähnt werden muss, dass die Multiplikation mit α von links natürlich analog zu der Multiplikation von rechts definiert ist.)
• Assoziativgesetz α*(β*A) = (α*β)*A
• Distributivgesetze (α+β)*A = α*A + β*A und α*(A+B) = α*A + α*B

Analog zur Multiplikation mit einer reellen Zahl α wird die Division durch eine reelle Zahl γ ≠ 0 durch die Multiplikation mit 1/γ erklärt.

4.4 Multiplikation von Matrizen

An dieser Stelle wird es nun etwas komplizierter, da im Allgemeinen zwei Matrizen vom gleichen Typ (m,n) nicht miteinander multipliziert werden können. (Wir werden sehen, dass dies nur für quadratische Matrizen gilt.)
Zwei Matrizen A und B sind genau dann miteinander multiplizierbar, wenn die Anzahl der Spalten von A der Anzahl der Zeilen von B entspricht. Ist also A eine Matrix vom Typ (m,n), so muss B eine Matrix vom Typ (n,k) sein.
Wie man bereits hier sehen kann, ist die Multiplikation von Matrizen i.A. nicht kommutativ. Es gilt sogar: Ist das Produkt A*B definiert, so existiert das Produkt B*A i.A. gar nicht, denn ist A eine Matrix vom Typ (n,m) und B eine Matrix vom Typ (k,n), so passen zwar die Spalten von A und die Zeilen von B zusammen, jedoch nicht die Spalten von B und die Zeilen von A (zumindest nicht, so lange m ≠ k ist).
Daraus folgt natürlich auch, dass die Reihenfolge bei der Multiplikation (d.h. welche Matrix links und welche rechts steht) wichtig ist, da dies ja gerade die Nichtkommutativität bedeutet.

Definition:
Ist nun A = (a_ij)_{i=1,...,m, j=1,...,n} eine Matrix vom Typ (m,n) und B = (b_ij)_{i=1,...,n, j=1,...,k} eine Matrix vom Typ (n,k), so definieren wir A*B als Matrix C = (c_ij)_{i=1,...,m, j=1,...,k}, d.h. als Matrix vom Typ (m,k), wobei die einzelnen Einträge definiert sind als

Der Eintrag c_ij ergibt sich also als Summe der Produkte der Einträge der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B.
Man erhält also

Beispiel:

Da die Rechenregel doch etwas komplizierter ist, gibt es eine Möglichkeit, sich das Ganze etwas anschaulicher aufzuschreiben:

An dieser Darstellung kann man gut erkennen, was tatsächlich gemacht wird. Der Eintrag in der Ergebnismatrix ist immer die Summe der Produkte der Zeile und Spalte der beiden ursprünglichen Matrizen, welche sich, wenn man sie sich verlängert denkt, genau an dieser Stelle treffen würden.

Unser Beispiel sieht also folgendermaßen aus:

Spezialfall: Multiplikation von Vektoren: das Skalarprodukt

Das aus der Schule bekannte Skalarprodukt, welches in der Vektoranalysis auftaucht, ist somit nichts anderes als die Multiplikation eines Zeilenvektors a^T mit dem Spaltenvektor b, wobei wir uns die Vektoren a und b als Spaltenvektoren vorstellen. Ist b ein n-Vektor, so ist er ja nichts anderes als eine Matrix vom Typ (n,1). Damit b (von links) mit einem weiteren n-Vektor a multiplizierbar ist, müssen wir diesen vom Spalten- zum Zeilenvektor machen, was durch Transponieren geschieht.

Rechenregeln:

• Kommutativität
  Wie bereits erwähnt gilt i.A. nicht das Kommutativgesetz, selbst dann nicht, wenn sowohl AB, als auch BA definiert sind.
• Multiplikation mit der Einheitsmatrix E
  Es gilt: AE = EA = A,
  wobei hier natürlich die jeweils passende Einheitsmatrix gemeint ist.
• Multiplikation mit der Nullmatrix 0
  Es gilt: A0 = 0A = 0.
• Gilt AB = 0, so folgt daraus nicht, dass A oder B die Nullmatrix sein müssen.
  Beispiel:
• Assoziativität
  Es gilt: (AB)C = A(BC),
  sofern die Matrizen A, B und C von solchem Typ sind, dass die jeweiligen Produkte existieren.
  Der Beweis dieser Aussage ist nicht besonders schwer, wenn man einfach die jeweiligen Definitionen einsetzt. Er ist jedoch mit einer aufwändigen Schreibarbeit versehen und daher überlassen wir es jedem selbst, die Aussage nachzurechnen.
• Transposition des Produkts
  Es gilt: (AB)^T = B^TA^T,
  was sich ebenso durch Einsetzen der Definitionen leicht ausrechnen lässt.
• Potenzieren von quadratischen Matrizen
  Ist A eine quadratische Matrix, so wird die p-te Potenz von A als p-faches Produkt von A mit sich selbst definiert: A^p := A*A*...*A und A⁰ = E.
  Aufgrund des Assoziativgesetzes kann dabei auf Klammern verzichtet werden und es gilt: A^pA^q = A^p+q.

5. Inverse Matrizen

Es bleibt uns hier noch eine letzte Definition zu klären.
Da wir nun eine Multiplikation von Matrizen eingeführt haben, stellt sich natürlich die Frage, ob man auch durch Matrizen teilen kann, was ja letztendlich die gleiche Frage ist, ob es zu einer gegebenen Matrix A eine Matrix A^-1 gibt, so dass AA^-1 = E ergibt. (Die Einheitsmatrix spielt, wie man bei den Rechenregeln zur Multiplikation von Matrizen gesehen hat, die Rolle der 1, da sie bei der Multiplikation mit anderen Matrizen diese nicht verändert.)
Die Frage ist nicht so einfach zu beantworten, da man für eine allgemeine Antwort noch weitere mathematische Konzepte benötigt, was hier allerdings den Rahmen sprengen würde.
Wir wollen uns nur den Fall von Matrizen vom Typ (2,2) anschauen.

Sei eine Matrix A mit folgender Gestalt gegeben:

Gilt für diese Matrix A: ad-bc ≠ 0, so können wir eine inverse Matrix A^-1 definieren, durch

Durch einfaches Ausmultiplizieren erhält man dann

Beispiel:
Nehmen wir folgende Matrix:

Dann ist ad-bc = 1*4-2*3 = -2, und somit erhalten wir unsere inverse Matrix

Ausrechnen liefert:

Rechenregeln:

• (A^T)^-1 = (A^-1)^T
• (AB)^-1 = B^-1A^-1
• A^-p = (A^-1)^p