Anwendungen der Matrizenrechnung

Einleitung

Wir haben bereits in dem Artikel Matrizen angedeutet, dass es viele und wichtige Anwendungen der Matrizenrechnung gibt.
In dem genannten ersten Artikel haben wir uns zunächst darauf konzentriert, zu definieren, worum es sich bei Matrizen handelt und wie mit ihnen gerechnet werden kann.
In diesem zweiten Artikel zu diesem Thema wollen wir uns nun einigen der angekündigten Anwendungen widmen. Sie werden schon bekannte Rechenverfahren deutlich erleichtern und neue Blickwinkel auf bereits bekannte Dinge geben.

1. Lineare Gleichungssysteme
   Dieses Gebiet stellt den größten Teil der Anwendungen der Matrizenrechnung dar. Daher behandeln wir es hier auch zuerst. Wir zeigen dabei anhand eines bereits bekannten Beispiels, eines linearen Gleichungssystems, die Umformulierung in die Matrizenschreibweise und erläutern dann das Lösungsverfahren.
   Dieses Verfahren lässt sich dann problemlos auf alle linearen Gleichungssysteme übertragen.
2. Analytische Geometrie, Vektorrechnung
   Wie schon bei der Definition der Matrizenrechnung erwähnt, stellt die Vektorrechnung einen Spezialfall dieser Theorie dar. Dies wollen wir hier noch einmal kurz aufzeigen.

1. Lineare Gleichungssysteme

In unserem Artikel über lineare Gleichungssystemen haben wir die Vorgehensweise ja bereits erklärt und Beispiele durchgerechnet. Diese wollen wir mit Hilfe der Matrizenschreibweise nun etwas vereinfacht darstellen, was insbesondere den Schreibaufwand reduzieren wird.
Betrachten wir Beispiel 4 aus dem oben genannten Artikel:

Statt der gesamten Gleichungen, wollen wir uns jetzt auf das absolut Nötigste konzentrieren, nämlich die Koeffizienten vor den Variablen. Wir schreiben also nicht mehr die ersten vier Gleichungen auf, sondern bilden eine Matrix mit vier Zeilen und fünf Spalten. Die Zeilen stehen dabei natürlich für die vier Gleichungen, in der ersten Spalte stehen die Koeffizienten, welche sich auf x₁ beziehen, in der zweiten Spalte die bzgl. x₂, u.s.w. In die fünfte Spalte schreiben wir die Werte von der rechten Seite der Gleichung. Unser Gleichungssystem hat nun also folgende Struktur:

Beachten muss man, dass zwar die Plus-Zeichen weggelassen werden, die Minus-Zeichen jedoch mit in der Matrix auftauchen müssen. Auch ist es wichtig an Stellen, in denen im Gleichungssystem eine der Variablen nicht auftaucht, wie hier in der vierten Gleichung, in der Matrix eine Null an der jeweiligen Stelle erscheinen muss.

Analog zu den Methoden bei normalen linearen Gleichungssystemen, versuchen wir nun die Lösung, bzw. die Lösungen zu finden.
Das Gleichungssystem in eine Dreiecksstruktur zu bekommen, wie es in dem Artikel erklärt wird, bedeutet für uns eine obere Dreiecksmatrix zu erzeugen. (Der Begriff wurde ebenfalls im Artikel über die Matrizenrechnung eingeführt.
Wir haben dafür letztendlich die gleichen Mittel zur Hand wie bei der normalen Vorgehensweise, wir dürfen Zeilen beliebig vertauschen (es müssen immer komplette Zeilen getauscht werden), wir dürfen einzelne Zeilen mit Zahlen multiplizieren (es müssen immer alle Einträge einer Zeile mit der gewählten Zahl multipliziert werden) und wir dürfen Zeilen addieren. Alles so, wie es in dem Artikel lineare Gleichungssystemen beschrieben wird.

Der gesamte Lösungsweg hat nun also die Gestalt:

Multipliziere die erste Zeile mit -2:

Addiere Zeile 1 zu Zeile 2 und zu Zeile 3:

Dividiere Zeile 1 durch -2, multipliziere Zeile 2 mit -15/9 und Zeile 4 mit 5:

Addiere Zeile 2 zu Zeile 3 und Zeile 4 und dividiere dann Zeile 2 durch 15:

Multipliziere Zeile 3 mit 10/3:

Addiere Zeile 3 zu Zeile 4 und dividiere dann Zeile 3 durch -10:

Da wir weiterhin im Hinterkopf haben, dass es sich hier um ein Gleichungssystem handelt, können wir nun aus der letzten Zeile ablesen (nach dividieren durch -5), dass x₄ = 0 sein muss.
Jetzt arbeiten wir uns wie gewohnt hoch: Zeile 3 liefert uns nun x₃ = 4.
Zeile 2 liefert: x₂ - 4 = -2, also x₂ = 2.
Zeile 1 liefert schließlich 2x₁ + 12 - 12 = -6, also 2x₁ = -6, also x₁ = -3.

In den Rechnungen haben wir letztendlich die gleichen Schritte durchgeführt wie zuvor auch, allerdings ist die Verbesserung, mindestens im Schreibaufwand, deutlich sichtbar.

Eine weitere gute Hilfe bietet die Matrizenrechnung bei der Probe, also der Überprüfung, ob unsere Ergebnisse auch stimmen.
Hier nehmen wir aus der Ausgangsmatrix nur die ersten vier Spalten und multiplizieren sie mit unserem Lösungsvektor, d.h. mit

Wenn wir richtig gerechnet haben, sollten wir jetzt genau den Vektor erhalten, der die fünfte Spalte in unserer Ausgangsmatrix darstellt:

Somit sehen wir also, dass unser Ergebnis richtig ist.

2. Analytische Geometrie, Vektorrechnung

Wie im Artikel Matrizen, in welchem wir die Matrizenschreibweise eingeführt und Rechenregeln für Matrizen angegeben haben, bereits erwähnt wurde, handelt es sich bei dem Spezialfall derjenigen Matrizen, welche nur eine Spalte (bzw. nur eine Zeile) haben um sogenannte Vektoren.
Die ausführliche Behandlung des Themas "Vektorrechnung" kann in einem demnächst erscheinenden Artikel nachgelesen werden. Wir wollten an dieser Stelle nur noch einmal darauf hinweisen, dass es sich in dieser Theorie nur um einen Spezialfall der Matrizenrechnung handelt. Die oben angesprochenen Rechenregeln erkennt man beispielsweise bei der Addition von Vektoren oder bei der Berechnung des Skalarprodukts zweier Vektoren a und b, welches einfach definiert ist als das Produkt der beiden Matrizen a und b^T.
(Beachte: Der Vektor b muss an dieser Stelle transponiert werden, da sonst a und b gar nicht miteinander multipliziert werden können.)
Man erhält also