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Mengenlehre

Einführung

Der folgende Artikel bietet eine Einführung in die Grundbegriffe der Mengenlehre. Von einer solchen Einführung wird man an erster Stelle eine exakte Definition des Begriffs der Menge erwarten. Diese Erwartung muß enttäuscht werden: So gibt es von dem Begriff der Menge zwei verbreitete "Definitionen". Die ältere der beiden ist recht verständlich, hat sich bei genauerer Betrachtung allerdings leider als widersprüchlich erwiesen; die andere ist sehr exakt, für Einsteiger aber etwas komplex. Aus diesem Grund wird im Folgenden auf die ältere Beschreibung zurückgegriffen.

Wer sich über diese etwas ungewöhnliche Einführung wundert und etwas über die Hintergründe erfahren möchte, sei auf den Überblicksartikel zur Mengenlehre verwiesen. Dort findet sich auch die neuere Definition und eine Erklärung dafür, warum Cantors Beschreibung von Mengen heute nicht mehr als korrekt angesehen wird:

(K)eine Definition

"Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen." (Georg Cantor, 1895)

Mit dieser Beschreibung können wir fürs Erste ganz gut arbeiten. Eine wie von Cantor beschriebene Menge wäre zum Beispiel

M = { 0, 8, 15 },

also die Menge, die aus den natürlichen Zahlen 0, 8 und 15 besteht.

Für "Die Null ist ein Element der Menge M" schreibt man kurz:

7 ist nicht Element von M

oder entsprechend

0 ist Element von M

die Zahl Sieben ist nicht in der Menge M.

Die Menge M enthält 3 Elemente. Wir Mathematiker sagen dazu, die Menge M besitzt die Mächtigkeit 3. Manchmal wird die Mächtigkeit einer Menge auch als Ordnung bezeichnet.

Leere Menge

Auch die Zusammenfassung von 0 Objekten ist eine Menge und wird die leere Menge genannt, geschrieben als leere Menge oder auch {}. Die Menge M35 der Monate mit 35 Tagen wäre eine solche Menge.

Am Beispiel der Menge M35 lässt sich auch aufzeigen, dass sich eine Menge nicht nur durch das Aufzählen aller Elemente beschreiben lässt, sondern auch durch die Beschreibung ihrer Eigenschaften. In der Mathematik werden solche Mengen formal beschrieben als

M35 = { x | x ist ein Monat mit 35 Tagen },

ausgesprochen als "M35 ist die Menge aller x, für die gilt: x ist ein Monat mit 35 Tagen".

Gleichheit von Mengen

Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten, formal:

Gleichheit von Mengen

Für alle x, die Element der Menge A sind, gilt: x ist auch Element der Menge B - und umgekehrt.

Werden die Mengen durch Aufzählung der Elemente beschrieben, ist es leicht zu sehen, ob zwei Mengen gleich sind. So gilt sicherlich

A = { 2, 3, 5, 7 } = { 5, 3, 2, 7 }

Dass diese Menge aber gleich ist der Menge

B = { x | x ist eine Primzahl kleiner als 10 }

erfordert schon etwas genaueres Hinschauen.

Teilmenge

Eine Menge A heißt Teilmenge (manchmal auch Untermenge) einer Menge B, in Formeldarstellung A Formel Teilmenge B, wenn jedes Element der Menge A auch Element der Menge B ist. B wird dann Obermenge von A genannt, und man schreibt B A.

Teilmenge

Sind die Mengen A und B nicht gleich, so spricht man von einer echten Teilmenge:

echte Teilmenge

So ist die Menge der Vögel eine echte Teilmenge der Menge aller Lebewesen, die Menge der natürlichen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen (Bruchzahlen).

Teilmenge

Schnittmenge

Die Schnittmenge oder auch der Durchschnitt mehrerer Mengen ist die Menge aller Elemente, die in jeder der Mengen enthalten ist.

Schnittmenge Beispiel 1

Für zwei Mengen wäre zum Beispiel

Schnittmenge Beispiel 2

die Menge aller geraden Primzahlen kleiner als 10.

Schnittmenge

Anmerkung: In den Beispielen und Skizzen wurde zur Vereinfachung nur der Durchschnitt über zwei Mengen dargestellt. Zu beachten ist, dass die Definition auch den Durchschnitt beliebig vieler Mengen zulässt. Diese Anmerkung gilt entsprechend auch für die Skizzen und Beispiele zu Vereinigungsmengen.

Vereinigungsmenge

Die Vereinigung mehrerer Mengen enthält alle Elemente, die in (mindestens) einer dieser Menge enthalten sind.

Vereinigungsmenge - Formel
Vereinigungsmenge

Wenden wir den Schnitt auf die Mengen aus dem vorherigen Absatz an, so erhalten wir:

Beispiel Vereinigungsmenge

Differenz- und Komplementärmenge

Als Differenz zweier Mengen

A \ B

bezeichnet man die Menge aller Elemente aus A, die nicht in B enthalten sind. Ist die Schnittmenge A B leer, so ist A \ B gleich A.

Differenz

Die Komplementärmenge zu einer Menge bilden alle x, die nicht in der Menge sind:

Formel Komplementärmenge

Da es irgendeine Grundmenge G geben muss, damit die beschriebenen x überhaupt definiert sind, ähnelt das Komplement stark der Differenz:

C (A) = G \ A

Komplementärmenge

Potenzmenge

Die Potenzmenge einer Menge enthält alle Teilmengen der vorgegebenen Menge. So ist die Potenzmenge:

P ( {1,2,3} ) = { {}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} }.

Der Name Potenzmenge leitet sich aus der Tatsache ab, dass eine Menge mit n Elementen 2n Teilmengen hat.

Ausblick

Da es sich um eine Einführung handelt, werden in dem vorliegenden Artikel nur die grundlegenden Begriffe und Konzepte der Mengenlehre behandelt. Wer sich gerne weiter in die Materie vertiefen möchte, findet auf mathematik.de den bereits erwähnten Überblicksartikel zur Mengenlehre mit der zu Beginn unterschlagenen exakten Mengendefinition von Ernst Zermelo sowie Verweisen auf vertiefende Artikel. Außerdem gibt es weiterführende Artikel zu endlichen und unendlichen sowie abzählbaren und überabzählbaren Mengen.