Newtonverfahren

Das Problem

Es ist eine Nullstelle einer vorgegebenen Funktion f einer Veränderlichen zu bestimmen, d.h. es ist eine Gleichung der Form f(x) = 0 zu lösen. Direkte Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle sind nicht oder nur mit sehr großem Aufwand anwendbar, daher verwendet man in der Regel ein Näherungsverfahren.

Die Lösung

Im Gegensatz zur Regula Falsi besteht beim Newtonverfahren die grundlegende Idee darin, die gegebene Funktion in der Nähe der gesuchten Nullstelle durch eine Tangente (gegenüber einer Sekante bei der Regula Falsi) anzunähern und dann die Nullstelle der Tangente als neue Approximation der Nullstelle der Funktion zu nutzen.

Das Vorgehen ist nun wie folgt: Man verschaffe sich zunächst, z.B. durch einen Graphen, eine ungefähre Vorstellung von der Lage der Nullstelle und wähle eine erste Näherung x₀ (d.h. man wähle eine Stelle in der Nähe der Nullstelle). Nun bestimme man die Nullstelle x₁ der Tangente in x₀ und wiederhole dieses Vorgehen mit x₁ als neuem Ausgangswert. Die Bestimmung von x₁ erfolgt gemäß der Formel

Nun berechnet man genauso x₂, x₃, ... . Man beendet das Verfahren, falls der neue Wert sich vom alten hinreichend wenig unterscheidet (die Genauigkeit hängt von der Problemstellung ab).

Hier noch einmal eine Zusammenfassung der Vorgehensweise:

1. Man verschaffe sich (z.B. durch einen Graphen) eine erste Näherung x₀ für die Nullstelle.
2. Man berechne (beginnend bei n = 0) aus x_n die neue Näherung x_n+1 gemäß
3. Unterscheiden sich x_n und x_n+1 hinreichend wenig, so ist x_n+1 eine Näherung der gesuchten Nullstelle, ansonsten wiederhole man Schritt 2 für das nächste n.

Beispiele

• f(x) = x² - 2

  Eine Nullstelle dieser Funktion ist offenbar die Wurzel aus der Zahl 2. Wir wollen als erstes Beispiel das Newtonverfahren dazu verwenden, einen Näherungswert für Wurzel 2 zu bestimmen. Wir skizzieren zunächst den Graphen der Funktion f und erhalten

  Wir wählen als Anfangswert x₀ = 1, dann ist Jetzt ergibt sich Ferner ist und Die Zahlen x₃ und x₄ stimmen bis auf 4 Stellen nach dem Komma überein. Das soll an dieser Stelle genügen. Wir erhalten also als Näherungswert für die gesuchte Nullstelle x = 1.4142.
Man notiert die Ergebnisse der Schritte meist in einer Tabelle, z.B.
• f(x) = x - cos(x)

  Der Graph von f hat folgende Gestalt

  Mit der Wahl x₀ = 1 ergibt sich Also ist x = 0.7391 eine gute Näherung für die gesuchte Nullstelle.

• f(x) = 2 - exp(x)

  Der Graph von f hat hier die Form

  Mit der Wahl x₀ = 1 ergibt sich Also ist x = 0.6931 eine gute Näherung für die gesuchte Nullstelle.

Links

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• http://www.mathe-online.at/nml/materialien/innsbruck/newton/Newtonverfahren.pdf
  Hier findet man eine ausführlichere und mathematisch anspruchvollere Ausarbeitung zum Newtonverfahren.