regula falsi

Das Problem

Es ist eine Nullstelle einer vorgegebenen Funktion f einer Veränderlichen zu bestimmen, d.h. es ist eine Gleichung der Form f(x) = 0 zu lösen. Direkte Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle sind nicht oder nur mit sehr großem Aufwand anwendbar, , daher verwendet man in der Regel ein Näherungsverfahren.

Die Lösung

Die Idee der Regula Falsi ist eigentlich recht leicht: Man verschafft sich zunächst (etwa durch einen Graphen) eine Information über die ungefähre Lage der Nullstelle. Dann bestimmt man (möglichst in der Nähe der Nullstelle) eine Stelle a mit f(a) < 0 sowie eine Stelle b mit f(b) > 0. Durch a und b hat man nun die Nullstelle gewissermaßen eingeschachtelt. Nun führt man wiederholt ein Verfahren aus, das einem eine immer bessere Einschachtelung der Nullstelle verschafft, bis man diese für das vorliegende Problem hinreichend genau angenähert hat. Dazu verfährt man folgendermaßen. Die Sekante von f durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) schneidet die x-Achse in einem Punkt x^*.

Man berechnet zunächst die Stelle x^* gemäß

Nun bestimmt man f(x^*). Ist dieser Wert positiv, so verwendet man im nächsten Schritt a und x^*, ansonsten x^* und b, um das Verfahren erneut durchzuführen. Dies wiederholt man nun so lange, bis sich durch erneute Anwendung des Verfahrens hinreichend viele Stellen (wie viele genau, hängt von der durch die Problemstellung geforderten Genauigkeit ab) der zuletzt bestimmten Näherungslösung nicht mehr ändern.

Hier noch einmal eine Zusammenfassung der Vorgehensweise:

1. Man verschaffe sich eine ungefähre Vorstellung von der Lage der Nullstelle (z.B. durch einen Graphen).
2. Man finde a mit f(a) < 0 und b mit f(b) > 0.
3. Man berechne den Wert
4. Man bestimme f(x^*). Ist dieser Wert Null, so ist x^* Nullstelle (und man ist fertig). Ist er positiv, so vergleiche man b und x^*. Stimmen diese beiden Werte hinreichend genau überein, so ist x^* eine Näherungslösung, andernfalls wiederhole Schritt 3 mit b = x^*. Ist f(x^*) negativ, so wiederhole Schritt 3 mit a = x^*, falls a und x^* nicht hinreichend genau übereinstimmen.

Beispiele

• f(x) = x² - 2
  

  Eine Nullstelle dieser Funktion ist offenbar die Wurzel aus der Zahl 2. Wir wollen als erstes Beispiel die Regula Falsi dazu verwenden, einen Näherungswert für Wurzel 2 zu bestimmen. Der Graph der Funktion f ist gegeben durch

  Man wählt a = 1 und b = 2 dann ist f(a) = -1 < 0 und f(b) = 2 > 0. Es ergibt sich Man erhält durch Einsetzen f(x^*) = - 0.2222, man setzt also a = x^* und fährt fort. Jetzt ergibt sich Damit ist f(x^*) = - 0.04 < 0, man setzt a = x^*. Es ist Damit ist f(x^*) = - 0.0069 < 0, man setzt a = x^*. Es ist Damit ist f(x^*) = - 0.0012 < 0, man setzt a = x^*. Es ist Damit ist f(x^*) = - 0.0002 < 0, man setzt a = x^*. Es ist Die Zahlen a und x^* stimmen auf 3 Stellen nach dem Komma überein. Das soll hier genügen. Wir erhalten also als Näherungswert für die gesuchte Nullstelle x^* = 1.4142.
  Man notiert die Ergebnisse der Regula-Falsi-Schritte meist in einer Tabelle, z.B.

  Animation zur Regula Falsi

  Sei b = 2. Man wähle zunächst durch Angabe von a ein Intervall [a,b], welches eine Nullstelle der gegebenen Funktion enthält und beobachte dann die Funktionsweise der Regula Falsi durch Erhöhen der Iterationsschritte.

  Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

  erstellt mit GeoGebra von at für www.mathematik.de

• f(x) = x - cos(x)

  Der Graph hat folgende Form

  Mit der Wahl a = 0 und b = 1 ergibt sich Also ist x^* = 0.7391 eine gute Näherung der gesuchten Nullstelle.

• f(x) = 2 - exp(x)

  Der Graph hat hier die Gestalt

  Mit der Wahl a = 1 und b = 0 ergibt sich Also ist x^* = 0.6931 eine gute Näherung der gesuchten Nullstelle.

Links

• Die Regula Falsi bei Wikipedia

Kennen Sie noch andere interessante Seiten zu diesem Thema ? Schreiben Sie uns! (mail[at]mathematik.de)