Nullstellen von Polynomen

Das Problem

Häufig ergibt sich, z.B. beim Lösen einer Extremwertaufgabe, die Notwendigkeit, die Nullstellen eines Polynoms, d.h. einer Funktion der Form

zu bestimmen.

Die Lösung

Man geht das Problem schrittweise an, d.h. man bestimmt die Nullstellen des Polynoms nacheinander. Hat man eine Nullstelle x₀ bestimmt, was auf verschiedene Arten möglich ist (s.u.), teilt man das Polynom mittels Polynomdivision durch x - x₀ und hat somit das Polynom um einen Grad reduziert. Dies führt man so lange durch, bis man keine Nullstelle mehr finden kann oder das Restpolynom noch höchstens Grad zwei hat und man es mit Hilfe der p-q-Formel weiter behandeln kann.
Zur sukzessiven Bestimmung der Nullstellen (und Erniedrigung des Grades) gibt es im Wesentlichen folgende Möglichkeiten:

• Rationale Nullstellen rationaler Polynome findet man durch Einsetzen der endlich vielen Möglichkeiten für diese (Näheres hier).
• Hat das Polynom irrationale Koeffizienten oder findet man mit den Methoden des ersten Punktes keine Nullstelle, so bleiben einem eigentlich nur Näherungsverfahren wie die regula falsi oder das Newton-Verfahren.

Es gibt noch einen weiteren Trick, um in günstigen Fällen den Grad des behandelten Polynoms zu reduzieren: Haben die auftretenden Exponenten einen ggT n, der größer als 1 ist, so substituiere man y=xⁿ. Nun bestimme man die Nullstellen des sich ergebenden Polynoms in y und löse dann für jede sich hier ergebende Nullstelle y₀ die Gleichung xⁿ = y₀, hierfür ist im Wesentlichen nur eine Wurzel zu ziehen. Ein Beispiel hierfür finden Sie im zweiten Beispiel.

Beispiele

• x³+3x²-4 = 0
  Da alle Koeffizienten des Polynoms rational sind, untersucht man zunächst, ob rationale Zahlen p/q Nullstellen des Polynoms sind, wobei p Teiler von 4 und q Teiler von 1 ist (mehr dazu hier). Man muss also nacheinander -1, +1, -2, +2, -4 und +4 in das Polynom einsetzen:
  • Einsetzen von -1 liefert: also ist -1 keine Nullstelle.
  • Durch Einsetzen von 1 erhält man: 1 ist also Nullstelle.
  Man dividiert nun mittels Polynomdivision durch x-1 und erhält: Die Nullstellen des quadratischen Restpolynoms bestimmt man nun mit der p-q-Formel: Die Nullstellen sind also -2 und 1.
• x⁵-x⁴+x³-x²+x-1 = 0
  Die Koeffizienten sind alle rational, also testet man zunächst, ob 1 oder -1 (da absolutes Glied und höchster Koeffizient beide 1 sind, vgl. hier) Nullstellen sind:
  • Setzt man zunächst 1 ein, ergibt sich: also ist 1 Nullstelle.
  Man teilt durch x-1 und erhält als Ergebnis der Polynomdivision: Die Exponenten des Restpolynoms haben den ggT 2, man substituiert also y=x² und muss nun zunächst die quadratische Gleichung lösen, die p-q-Formel liefert: Nun hat man noch x² = y₀ sowie x² = y₁ zu lösen, wobei letztere Gleichung keine Lösung hat, da y₁ negativ ist. Es ergeben sich neben 1 die beiden weiteren Nullstellen:
• x³-x+4 = 0
  Wie in beiden vorherigen Beispielen testet man auch hier zuerst, ob rationale Nullstellen vorliegen:
  • Für -1 erhält man:
  • und für 1:
  • Durch Einsetzen von 2 ergibt sich:
  • mit x = -2:
  • Setzt man 4 ein, ist
  • Zuletzt schließlich mit -4:
  Man muss also ein Näherungsverfahren einsetzen - wir haben uns hier für das Newtonverfahren entschieden - und erhält als Näherung für eine Nullstelle: Man führt Polynomdivision durch und erhält: Durch Anwendung der p-q-Formel ergeben sich keine weiteren Nullstellen da der RADIKAND negativ ist.

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