rationale Nullstellen rationaler Polynome

Das Problem

Häufig ergibt sich, z.B. beim Lösen einer Extremwertaufgabe, die Notwendigkeit, die Nullstellen eines Polynoms, d.h. einer Funktion der

zu bestimmen mit rationalen Koeffizienten a_i. Es ist meist von Vorteil, zunächst die rationalen Nullstellen zu bestimmen, da dies (s.u.) sehr einfach ist und das Problem alle Nullstellen zu bestimmen sehr vereinfacht.

Die Lösung

Das Gute ist: Die rationalen Nullstellen eines ganzzahligen Polynoms (d.h. die Koeffizienten a_i sind sogar ganze Zahlen) kann man alle durch Ausprobieren finden. Es gibt nämlich nur endlich viele Möglichkeiten dafür und die findet man so: In Frage kommen diejenigen rationalen Zahlen p/q, deren Zähler p ein Teiler des absoluten Gliedes a₀ und deren Nenner q ein Teiler des höchsten Koeffizienten a_n ist, und deren Negative. Dabei sei

das von uns betrachtete ganzzahlige Polynom.

Ist nun ein Polynom mit gebrochenen Koeffizienten vorgeben, so multipliziere man zunächst mit dem Hauptnenner der auftretenden Brüche; man erhält so ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, das dieselben Nullstellen wie das gegebene hat. Nun kann man das oben skizzierte Verfahren anwenden.

Beispiele

• x³ + 4x² + x - 6
  Das absolute Glied ist -6, der höchste Koeffizient (der vor x³) ist 1. Man hat also alle Brüche p/q zu testen, deren Zähler Teiler von 6 und deren Nenner Teiler von 1 ist. 1 hat die Teiler +1 und -1; 6 hat die Teiler +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6 und -6. Man muss also +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6 und -6 einsetzen sowie überprüfen, ob sich Null ergibt: Also sind 1, -2 und -3 die einzigen rationalen Nullstellen des gegebenen Polynoms (und damit alle Nullstellen, da ein Polynom dritten Grades höchstens drei Nullstellen hat).
• x³ - 1/2x² - 1/4x + 1/8
  Hier ist ein Polynom mit echt gebrochenen Koeffizienten vorgegeben, man multipliziert also mit dem Hauptnenner. Dieser ist 8 und somit ergibt sich das Polynom 8x³ - 4x² - 2x + 1. Dessen absolutes Glied ist 1, der höchste Koeffizient ist 8. Man muss also 1, -1, 1/2, -1/2, 1/4, -1/4, 1/8 und -1/8 als mögliche Nullstellen ausprobieren: Also sind die gesuchten rationalen Nullstellen gerade 1/2 und -1/2.
• x⁴ - 5/2x³ + 3/2x² + 1/2x -1/2
  Erneut ist es zunächst vonnöten, mit dem Hauptnenner 2 zu multiplizieren, es ergibt sich das Polynom 2x⁴ - 5x³ + 3x² + x -1. Der höchste Koeffizient ist 2, das absolute Glied ist -1, man hat also die Zahlen 1, -1, 1/2 und -1/2 zu testen und erhält: Die rationalen Nullstellen sind also 1 und -1/2.

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