Polynomdivision

Das Problem

Polynomdivision ist auszuführen, falls man einen Ausdruck wie

vereinfachen möchte. Die Ausdrücke, die hier auftauchen, nennt man Polynome. Polynomdivision ist kein eigenständiges Problem, sondern ein Hilfsmittel, das einem bei anderen Problemen die Arbeit erleichtert, insbesondere bei der Nullstellenbestimmung von Polynomen.

Die Lösung

Zur Lösung der Aufgabe der Polynomdivision wendet man ein Verfahren an, welches dem der schriftlichen Division von Zahlen gleicht. Es hat die folgende Form:

Bei der Polynomdivision geht man ähnlich vor: Zuerst sortiert man die Summanden beider Polynome nach ihrem Grad, d.h. nach dem Exponenten von x. Man teilt nun das erste Glied des Dividenden (der Zähler obigen Bruches) durch das erste Glied des Divisors (der Nenner) und notiert das Ergebnis. Dieses Ergebnis multipliziert man nun mit dem Divisor und subtrahiert das Produkt vom Dividenden. Falls der Rest des Dividenden einen kleineren Grad hat als der Divisor, so ist man fertig, andernfalls beginnt man von vorn. Die bei den einzelnen Schritten entstehenden Quotienten der jeweiligen Glieder ergeben aufsummiert das Ergebnis der Polynomdivision (plus einem sich eventuell ergebenden Rest, der Dividendenrest geteilt durch den Divisor).

Beispiele

(x⁴-4x³+4x²+4x-5):(x²-1) = ?
Zunächst teilt man also x⁴ durch x² und erhält x². Dies multipliziert man nun mit dem Divisor und erhält Nach Abziehen vom Dividenden bleibt noch zu berechnen. Dafür teilt man zunächst -4x³ durch x² und erhält -4x, man erhält durch Multiplikation mit dem Divisor und Subtraktion den neuen Dividenden Man teilt nun 5x² durch x², das ergibt 5. Multipliziert man zurück und subtrahiert, so ergibt sich 0. Man ist also fertig und erhält: Die obige Rechnung schreibt man meist, ähnlich dem Schema für die schriftliche Division, in folgender Form auf:
(x³-x):(x-1) = ?
Man erhält das Schema:
(x⁵-1):(x²+x+1) = ?
Man erhält: Hier ist man fertig, denn der Rest -x-2 hat den Grad 1 und der Divisor x²+x+1 hat den Grad 2. Diese Division geht also nicht auf, es bleibt der Rest -x-2, man notiert das Ergebnis in der Form:

Polynomdivision

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