Die allgemeine Potenz

In diesem Artikel soll die im Artikel über Potenzrechnung dargestellte Definition der Potenz a^b auf den Fall verallgemeinert werden, dass b eine beliebige reelle Zahl ist. Bisher wurden Potenzen nur für rationale Exponenten erklärt.
Wir wollen hier zwei Möglichkeiten zur Definition der reellen Potenz vorstellen, einmal mit Hilfe des Intervallschachtelungsprinzips und einmal unter Verwendung der Exponentialfunktion (falls Ihnen diese Begriffe nichts sagen, suchen Sie vielleicht diesen Artikel).

Definition der allgemeinen Potenzen über Intervallschachtelung

Bei diesem Zugang ist die Beobachtung, dass die Potenzfunktion x |-> a^x monoton ist (steigend für a > 1, fallend für a < 1), wenn wir sie als Funktion von Q nach R auffassen, wichtig.
Wollen wir nun für eine reelle Zahl x die Potenz a^x berechnen, so betrachten wir eine Intervallschachtelung

für x, d.h. eine absteigende Folge von Intervallen, deren einziges gemeinsames Element x ist, mit rationalen Eckpunkten b_i und c_i. Für die Eckpunkte ist die Potenz also definiert, wegen der Monotonie ist dann auch

eine Intervallschachtelung, bestimmt also eine reelle Zahl, die wir a^x nennen. Dies ist wie im Fall rationaler Exponenten nur im Fall a>0 möglich.

Definition der allgemeinen Potenzen über Exponential und Logarithmus

Eine andere Möglichkeit, die allgemeine Potenz zu definieren, ist der Zugang über die Exponentialfunktion und die natürliche Logarithmusfunktion. Entscheidend ist hier die Beobachtung, dass für rationales x und a>0 stets

ist. Nun ist die rechte Seite auch für allgemeines x sinnvoll, man kann sie also als Definition der Potenz a^x für irrationales x heranziehen. D. h. man definiert

Die beiden Zugänge sind äquivalent, und die bekannten Potenzgesetze gelten weiter.