Banner der Website mathematik.de. Motiv: Überall ist Mathematik

Potenzrechnung

Einführung

Dieser Artikel beschäftigt sich mit Potenzen reeller Zahlen, also Ausdrücken der Form ab. Wir wollen zunächst einmal erklären, für welche Werte von a und b ein solcher Ausdruck überhaupt sinnvoll zu erklären ist, und was er dann jeweils bedeutet (dieser Artikel beschäftigt sich nicht mit allgemeinen Potenzen, mehr dazu gibt es hier). Im Ausdruck ab nennt man a die Basis (auch: die Grundzahl), b den Exponenten (auch: die Hochzahl) der Potenz ab. Wir werden zunächst erklären, was ein natürlicher Exponent bedeutet, danach werden wir uns mit ganzen und schließlich mit rationalen Exponenten beschäftigen. Am Ende dieses Artikels werden die wichtigsten Rechengesetze für Potenzausdrücke vorgestellt und an einigen Beispielen erklärt werden.

Nun aber in medias res (lat. "zur Sache"):

Potenzen mit natürlichem Exponenten

Zunächst also beschäftigen wir uns mit dem Fall, dass b eine natürliche Zahl, also 1, 2, 3, ... ist. In diesem Fall ist ab eine abkürzende Schreibweise für die b-fache Multiplikation von a mit sich, in derselben Art, wie a mal b eine Abkürzung für a+...+a ist, wobei b Summanden auftauchen. Es ist also

Dies ist sinnvoll für jede reelle Zahl a, im Folgenden ein paar Beispiele:

Beispiele von Potenzen mit natürlichem Exponenten

  • Es ist 22 = 4, denn
  • Es ist 25 = 32, denn
  • Es ist (-3)3 = -27, da
  • Es ist (1/4)3 = 1/64, da
  • Für jedes a ist a1 = a, da man zur Berechnung von a1 doch ein Produkt mit einem Faktor a hinzuschreiben hat.

Potenzen mit ganzem Exponenten

In diesem Abschnitt wollen wir der Potenz ab auch für beliebige ganze Zahlen b einen Sinn geben. Dies soll - wie fast immer in der Mathematik - so geschehen, dass möglichst viele "schöne" Eigenschafen erhalten bleiben. Betrachten wir etwa

so stellen wir fest, dass man von einer Potenz der Zwei zur nächst-niedrigeren gelangt, indem man durch zwei dividiert. Wollen wir diese Eigenschaft erhalten, müssen wir gezwungenermaßen definieren:

Wir beobachten, dass 20 = 1 und dass für negatives b

Ähnlich können wir für jedes von Null verschiedene a vorgehen (Null ist deshalb nicht sinnvoll, da wir durch die Basis teilen mussten, dies ist im Falle der Basis Null nicht definiert). U nd so definiert man

Beispiele von Potenzen mit ganzzahligem Exponenten

  • Es ist 2-1 = 1/2, da
  • Es ist 3-3 gerade 1/27, denn
  • Es ist (-2)-2 = 1/4, denn
  • Es ist (1/4)-3 = 64, da
  • Es ist (-1/2)0 = 1.

Potenzen mit gebrochenem Exponenten

Jetzt wollen wir unseren Ausdruck ab auch für rationales b erklären, wieder wollen wir dies möglichst so durchführen, dass viele bekannte Eigenschaften erhalten bleiben. Zur Motivation beginnen wir mit

da 256 eine Quadratzahl ist, könen wir aus 256 die Wurzel ziehen, es ergibt sich 16, was gerade 24 ist. 16 ist ebenfalls eine Quadratzahl, radizieren gibt 4 oder 22, was wieder eine Quadratzahl ist. Ziehen wir ein weiteres Mal die Wurzel, so ergibt sich 2 = 21. Wir haben also

Wir beobachten: Zieht man eine Wurzel aus einer Potenz, so muss man den Exponenten halbieren. Sehen wir das als erhaltenswert an, so müssen wir

setzen.
Ganz ähnlich können wir für rationale Zahlen p/q mit ganzem p und natürlichem q unserer Maxime eingedenk nur definieren:

Hierbei ist a > 0 eine sinnvolle Forderung, da Wurzeln im Allgemeinen nur für nicht-negative Radikanden erklärt sind.

Beispiele von Potenzen mit rationalem Exponenten

Bei der Berechnung von Potenzen mit rationalem Exponenten ist es vorteilhaft, die Rechengesetze für Wurzeln zu beherrschen, mehr dazu finden Sie hier.

  • Es ist 2561/4 = 4, denn
  • Es ist 43/2 = 8, da
  • Es ist (1/8)-2/3 = 4, da
  • Es ist 271/6 = Wurzel aus drei, denn
  • Es ist 40/12 = 1, da

Bemerkungen und Ergänzungen

Mit Hilfe unserer obigen Definitionen ist nun

also kann man den Ausdruck 00 nicht so definieren, dass beide Gesetze auch für die erweiterte Potenzdefinition weiter gelten. Es gibt jedoch eine, die Notation häufig erleichternde Definition

Das ist wirklich nichts anderes, es soll nur in manchen Fällen etwas einfacher aufgeschrieben werden können, man kann 00=1 nicht beweisen.

Das ist noch nicht das Ende der Fahnenstange, man kann noch allgemeinere Potenzen betrachten, mehr zu diesem Themenkomplex findet der interessierte Leser hier. Da der Begriff der allgemeinen Potenz etwas mehr mathematische Vorbildung benötigt, die Begriffe Intervallschachtelung oder Exponentialfunktion sollten dem Leser bekannt sein, wollen wir hier nicht weiter darauf eingehen und kommen zu den Potenzgesetzen.

Potenzgesetze

Der Begriff Potenzgesetze bezeichnet einige wichtige, beim Berechnen von Potenzen oft hilfreiche, Rechengesetze, die im Folgenden aufgezählt und kurz erläutert werden sollen. Wir werden keine mathematischen Beweise für die Gültigkeit dieser Gesetze geben, da dies in unseren Augen nicht besonders hilfreich ist.

Multiplikation von Potenzen

Hierfür gibt es zwei Gesetze, eines befasst sich mit Potenzen gleicher Basis, das andere mit Potenzen von gleichem Exponenten:

Vielleicht ist es für den einen oder anderen einprägsamer, sich die Regeln in Prosa zu merken, man kann sie wie folgt formulieren:

Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.

und

Potenzen von gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den gemeinsamen Exponenten beibehält.

Wie versprochen, wollen wir die Regeln nun kurz erläutern: Wie bei den meisten der hier betrachteten Gesetze sind sie für natürliche Exponenten recht leicht einzusehen. Das erste besagt dann, dass das Produkt eines Produktes von b Faktoren a mit einem Produkt von c Faktoren a ein Produkt von b+c Faktoren a ist.

Das zweite besagt, dass ein Produkt von c as mit c bs genau dasselbe ergibt, wie die c-fache Multiplikation von ab mit sich.

Für andere Exponenten führt man die Regeln mittels der jeweiligen Definitionen auf den Fall natürlicher Exponenten zurück.

Division von Potenzen

Wieder gibt es Regeln für den Fall gleicher Basen und gleicher Exponenten, sie lauten

Formulieren wir die Gesetze ebenfalls in Prosa, lauten sie:

Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.

und

Potenzen von gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den gemeinsamen Exponenten beibehält.

Auch hier wollen wir eine kurze Erläuterung zum Beweis geben: Wieder wollen wir uns auf den Fall natürlicher Exponenten beschränken, das erste der beiden Gesetze besagt dann gerade, dass

ist also einfach die Feststellung, dass man gleiche Faktoren kürzen kann. Das zweite Gesetz hat mit der Multiplikationsregel der Bruchrechnung zu tun, es besagt, dass

denn man kann Brüche multiplizieren, indem man dies für Zähler und Nenner tut.

Addition und Subtraktion

Vielleicht erwartet der eine oder andere ja jetzt Regeln zur Addition und Subtraktion von Potenzen, diese Hoffnung muss jedoch enttäuscht werden, da es solche Regeln nicht gibt.

Potenzierung von Potenzen

Hier gibt es nur eine Regel, es ist

oder in Prosa:

Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.

Noch eine Bemerkung hierzu: Es ist wichtig, dass ab hier als Basis einer weiteren Potenz auftritt, für den Fall, dass ab Exponent ist, gibt es keine allgemeinen Regeln, dazu beachte man auch, dass im Allgemeinen

ist, so ist z. B.

daher ist es bei mehrfacher Potenzierung notwendig, Klammern zu setzen oder eine Übereinkunft zu treffen, was unter

zu verstehen ist, üblich ist

zu setzen. Es ist aber auf jeden Fall empfehlenswert, Klammern zu setzen.
Auch hier wollen wir die Regel für den Fall natürlicher Exponenten begründen: Die Regel besagt doch einfach, dass ein c-faches Produkt von b as ein Produkt von bc as ist:

Radizieren1) von Potenzen

Auch hier gibt es nur eine Regel, es ist

oder prosaisch

Potenzen werden radiziert, indem man den Exponenten durch den Wurzelexponenten dividiert und die Basis beibehält.

Diese Regel ist einfach eine Umformulierung der vorhergehenden Regel mit Hilfe der Definition gebrochener Hochzahlen, die Potenzierung mit 1/c entspricht doch einfach dem Ziehen der c-ten Wurzel, und damit

Das soll es an Regeln gewesen sein, wir wollen sie hier der Übersichtlichkeit halber noch einmal auflisten:

Beispiele

  • Als erstes Beispiel wollen wir den Ausdruck
    berechnen, es ist (die verwendete Regeln sind über den Gleichheitszeichen angegeben, die geänderten Zahlen fett gesetzt):
  • Als zweites Beispiel wollen wir
    bestimmen. Auf den ersten Blick scheint keine unserer Regeln anwendbar zu sein. Beachten wir jedoch, dass alle Basen Potenzen der Zwei sind, so können wir den Term doch mit ihrer Hilfe vereinfachen:
  • Jetzt wollen wir
    berechnen, es ist
  • Zuletzt wollen wir noch ein Beispiel betrachten, in dem die Basen keine konkreten Zahlen sind, wir wollen
    vereinfachen. Es ist

Die Potenzgesetze gelten auch noch im hier behandelten Fall allgemeinerer Potenzen. 1) Radizieren ist aus lat. radix=Wurzel abgeleitet und bedeutet Wurzelziehen.