Prozentrechnung

Das Problem

Es ist eine Aufgabe zu lösen, in der Prozente auftauchen, es ist etwa eine Mehrwertsteuer zu berechnen, ein Betrag ist nach einem vereinbarten Schema aufzuteilen, oder Ähnliches.

Erläuterung

Das Wort Prozent ist von dem Lateinischen pro centum entlehnt, was "von hundert" heißt. Ein Prozent ist also eins von hundert, d.h. ein Hundertstel. Prozentrechnung ist also Rechnen mit Brüchen - man kann aber auch mit Hilfe eines Dreisatz Ansatzes herangehen, mehr dazu unten.
Anstelle von "Prozent" schreibt man oft "%", was man auch als "Prozent" liest. Auch für kleinere Brüche als ein Hunderstel gibt es Namen und Zeichen, es sei hier noch das Promille (von lateinisch pro mille - von tausend) erwähnt, das aus der StVO bekannt ist. Auch für Promille gibt es ein (Schreibarbeit sparendes) Zeichen, man schreibt ⁰/₀₀.

Die Lösung

Als Erstes wollen wir auf die grundsätzliche Struktur einer Prozentrechenaufgabe eingehen, im Wesentlichen hat eine solche Aufgabe drei Kenngrößen, die wir am Beispiel des 10%-Fruchtsaftgehalts einer Einliterflasche Nektar erläutern wollen:

Den sog. Grundwert, er bezeichnet die zugrunde liegende Gesamtmenge der betrachteten Größe, in unserem Saftbeispiel also die Gesamtmenge des Nektars. Das ist bei einem Flascheninhalt von einem Liter gerade ein Liter.
Den Prozentsatz, er bezeichnet die relative Größe des interessanten Anteils am Grundwert, im Nektarbeispiel also 10, da der Fruchtsaftgehalt ja gerade 10% beträgt (Man beachte: Der Prozentsatz ist 10, nicht 10 Prozent! Verwechslungen können hier [jedenfalls bei mir] leicht zu Rechenfehlern führen).
Den sog. Prozentwert, das ist die Größe des interessanten Anteils (hier: absolut), im Nektarbeispiel (und hier müssen wir schon das erste Mal rechnen): Wir haben einen Liter Nektar mit einem Fruchtsaftanteil von 10%, wir hatten uns oben überlegt, dass Prozent einfach ein anderes Wort für Hundertstel ist, wir haben es also mit einem Fruchtsaftanteil von zehn Hundertsteln oder einem Zehntel zu tun. "Von" übersetzt in ein "mal" (mehr dazu hier), der Prozentwert beträgt also

Für diese drei grundlegenden Größen gibt es auch allgemein bekannte Bezeichnungen, man bezeichnet in der Regel:

den Grundwert mit G,
den Prozentsatz mit p
und den Prozentwert mit W

Wir wollen nun eine grundlegende Beziehung zwischen diesen drei Größen herleiten, deren Kenntnis zum Lösen von Prozentrechenaufgaben ausreichen sollte. Also: Es war doch Prozent ein anderes Wort für Hunderstel, und der Prozentwert waren gerade p Prozent vom Grundwert, d.h. aber gerade, wenn wir "von" wieder als "mal" verstehen, dass

ist. Wir wollen diese Gleichung (nach Division durch G) - symmetrischer - als

notieren.
Man geht also, gegeben ein Prozentrechenproblem, in der Regel so vor (dies ist - wie immer - nur eine Möglichkeit):

Identifiziere die Größen G, W, p, als gegeben/gesucht.
Forme die Formel nach der gesuchten Größe um.
Setze die gegebenen Werte ein und berechne so die gesuchte Größe

Manchmal (siehe zum Beispiel unten) hat man diese Schritte mehrmals zu vollführen, da es sich um mehrere verschachtelte Aufgaben dieses einfachen Typus handelt.
Eine andere Möglichkeit - wie schon eingangs erwähnt - ist, die Gleichung so zu lesen, dass zwischen p und W ein proportionaler Zusammenhang besteht, und dann mit Hilfe einer DreisatzÜberlegung heranzugehen. Wir wollen dies im ersten Beispiel exemplarisch zeigen, da es i.W. immer so funktioniert.

Beispiele

Als Erstes wollen wir einige einfache Beispiele besprechen, bei deren Lösung wir uns exakt an obigen Plan halten können:

Auf einer 0,5-Liter-Bierflasche findet sich der Aufdruck 5% Alkohol. Wieviel Alkohol enthält die Flasche?
Na ja, 5%, oder nicht? Nein, so war das natürlich nicht gemeint, wir müssen uns zunächst einmal klarmachen, was wir hier überhaupt tun sollen, das ist mit "Identifizierung" gemeint. Also: Was haben wir, der Grundwert, das war die Gesamtmenge, ist hier sicher G = 0,5 (Liter Bier). Was ist noch gegeben: "5% Alkohol", das ist der Prozentsatz, wir haben p = 5. Gesucht ist die Menge Alkohol im Bier, das ist der Prozentwert, wir müssen also unsere Formel nach W auflösen, es ist
Nun setzen wir p = 5 und G = 0,5 ein und erhalten: Also enthält unsere Bierflasche 0,025 = 25 ml Alkohol.

Wir können das Ganze auch so aufschreiben, wie im Dreisatzartikel erklärt, wir haben:

1 Liter Bier enthält 5% = 0,05 Liter Alkohol

0,5 = 0,5 * 1 Liter Bier enthalten 0,05 * 0,5 = 0,025 Liter Alkohol

Somit erhalten wir (natürlich) dasselbe Ergebnis.
Betrachten wir als Nächstes eine alte Rechnung, auf der nur noch der Nettopreis von 135,21 deutschen Mark und ein Mehrwertsteuerbetrag von 18,93 stehen. Wie hoch war damals die Mehrwertsteuer?
Also: Zunächst müssen wir wieder die beteiligten Größen identifizieren: Der Nettopreis ist sicher der Grundwert (denn dieser bezeichnete ja die Gesamtheit der zugrunde liegenden Größe), wir haben also G = 135,21 (dt. Mark), der Betrag der MwST ist der Prozentwert, der "interessante" Teil des Betrags. Gesucht ist die Mehrwertsteuerrate p. Wir lösen also zunächst einmal unsere Gleichung nach p auf, es ist Wir setzen ein und erhalten als Lösung.
Nun wollen wir einen zu 2,1 Prozent gefüllten Container betrachten, der noch 10 Liter enthält. Wieviel passt insgesamt hinein?
Beginnen wir wieder mit der Identifizierung der beteiligten Werte, sicher ist p = 2,1 der Prozentsatz, der noch vorhandene Anteil des Inhalts, die zehn Liter, sind der Prozentwert W = 10, gesucht ist die Gesamtheit, also der Grundwert.
Wir lösen nach G auf, i.e. Nun noch einsetzen, es ist der Container fasst also in etwa 476,19 Liter.
Als Nächstes einmal ein Beispiel, bei dem zwei Prozentrechenaufgaben verwoben sind: Ein Händler gewährt auf den Bruttopreis bei Barzahlung drei Prozent Rabatt, wieviel muss ich also in Bar für ein Auto bezahlen, dass einen Nettowert von 25.000 Euro hat.
Da der Händler den Rabatt auf den Bruttopreis gewährt, müssen wir also zunächst diesen berechnen: Der Nettopreis ist der Grundwert, wir haben also G₁ = 25.000, die Mehrwertsteuer beträgt 16%, der Prozentsatz ist also p₁ = 116 (denn der Prozentwert, i.e. der Bruttopreis, ist der Nettopreis plus MwST), wir haben also einsetzen liefert als Bruttopreis unseres Kraftfahrzeugs.
Um nun den Barpreis zu berechnen, müssen wir zunächst wieder die beteiligten Größen identifizieren, es ist G₂ = W₁ = 29.000 der Grundwert, der Händler gewährt uns drei Prozent Rabatt, wir müssen also noch einen Prozentsatz von p₂ = 97 bezahlen, gesucht ist hier unser Barpreis, der Prozentwert, wegen ist unser Barpreis.
Bemerkung: Wir hätten auch zunächst wegen G₂ = W₁ die Formeln ineinander einsetzen können, hätten also erhalten und nach Einsetzen wiederum als Lösung. Dieses Vorgehen empfiehlt sich in der Regel, da es zu weniger Rechen- und Abschreibfehlern führt.
Betrachten wir nun zuletzt ein etwas komplizierteres Beispiel, das neben den Techniken der Prozentrechnung auch noch Umgang mit einfachen Gleichungssystemen erfordert:
Wir betrachten eine Rechnung, der Nettobetrag beträgt 101 Euro, der Bruttobetrag 111,12 Euro. Wie hoch ist der Bruttopreis derjenigen Waren, auf die die volle Mehrwertsteuer von 16% fällig ist?
Hier sind zwei Prozentaufgaben miteinander verwickelt, es gibt die beiden Nettopreise derjenigen Waren, auf die sieben bzw. sechzehn Prozent Steuer fällig sind, sie bezeichnen die Grundwerte, nennen wir sie G₇ und G₁₆. Die Prozentwerte sind die beiden Bruttobeträge W₇ und W₁₆, die zugehörigen Prozentsätze sind (beachte, dass die Steuer zum Nettopreis hinzukommt) nun p₇ = 107 und p₁₆ = 116. Stellen wir unsere Formel nach G um, so ergibt sich also ist Der Aufgabe entnehmen wir, dass mit Hilfe der obigen Formeln können wir das lineare Gleichungssystem aufstellen und mittels Gauß lösen: Der Bruttopreis der Waren, auf die der volle Preis fällig ist, ergibt sich zu Euro.