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Quadratische Gleichungen

Das Problem

Das Lösen einer quadratischen Gleichung ist meist kein Problem, das nur für sich auftritt, sondern die Notwendigkeit ergibt sich im Lauf der Lösung eines anderen Problems. Eine quadratische Gleichung ist ein Ausdruck der Form ax² + bx + c = 0, dabei sind a, b und c reelle Zahlen (oder auch komplexe, das soll hier aber nicht Thema sein). Gesucht sind alle reellen Zahlen x, die dieser Gleichung genügen.

Die Lösung

Für das Lösen quadratischer Gleichungen gibt es eine Formel, die sog. p-q-Formel. Beim Lösen geht man in zwei Schritten vor:

  1. Zunächst normiert man, d.h. man muss die obige Gleichung durch a dividieren, so dass der Koeffizient vor x² eine 1 ist. Man erhält dann eine Gleichung der Form x² + px + q = 0 (dabei ist p = b/a und q = c/a).
  2. Als Nächstes berechnet man den Ausdruck
    die sog. Diskriminante der quadratischen Gleichung. Nun unterscheidet man zwei Fälle. Der erste Fall ist, dass D < 0 ist: Dann hat die gegebene Gleichung keine Lösung (man ist dann also fertig). Andernfalls ist D = 0 oder D > 0. Im Fall D = 0 erhält man eine, im Fall D > 0 zwei Lösungen der quadratischen Gleichung gemäß:
    Für D = 0 ergibt sich hier x1 = x2 = -p/2, also nur eine Lösung. Die beiden beschriebenen Teilschritte kann man auch zu
    zusammenfassen (das ist die sog. p-q-Formel); man hört dann einfach auf zu rechnen, falls sich unter der Wurzel eine negative Zahl ergibt.

Beispiele

  • 3x² - 3x - 6 = 0
    Da die Gleichung nicht normiert ist, muss man das zunächst tun. Man erhält durch Division mit Drei die Gleichung x² - x - 2 = 0, die Diskriminante ist also
    Da 9/4 positiv ist, ist die Gleichung lösbar, die Lösungen ergeben sich gemäß:
    Die beiden Lösungen sind also x1=2 und x2=-1.

  • 2x² - 4x + 10 = 0
    Zunächst normieren wir wieder: Nach Division durch Zwei erhält man die normierte Form x² - 2x + 5 = 0. Die Diskriminante ergibt sich zu
    wegen -4 < 0 ist die Gleichung nicht lösbar.

  • x² - 7x + 12 = 0
    Diese Gleichung ist schon normiert, wir können also gleich loslegen, diesmal setzen wir direkt in die p-q-Formel ein und erhalten:
    Die Lösungen sind also 8/2 = 4 und 6/2 = 3.

Links

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