Die Signumfunktion

Problem

Die Signumfunktion, was ist das eigentlich?

Erläuterung

Zunächst muss gesagt werden, dass es die Signumfunktion in zwei verschiedenen Varianten gibt. Die eine bezieht sich auf die reellen Zahlen und die andere auf Permutationen.

Signumfunktion für reelle Zahlen

Wie der Name schon vermuten lässt ist es eine Funktion. Sie ist auf den reellen Zahlen definiert und ordnet jeder reellen Zahl x ihr Vorzeichen sgn x (lat. signum - Zeichen) zu.
Dabei soll "Vorzeichen" folgendes bedeuten:

• Für positive Zahlen x ist sgn x = +1.
• Für negative Zahlen x ist sgn x = -1.
• Es ist (das ist nicht so einleuchtend, sondern eine Definition) sgn 0 = 0.

Es ergibt sich also als Graph der Signumfunktion:

Bemerkungen/Beispiele

• Es gibt einen einfachen Zusammenhang zwischen Betrags- und Signumfunktion. Für jedes reelle x gilt nämlich
• Es ist (beispielsweise):
  
• Falls Sie wissen, was eine Ableitung ist, sollte Ihnen auffallen, dass für x ungleich 0 stets |x|' = sgn x ist, d.h. die Signumfunktion ist die Ableitung der Betragsfunktion.

Signumfunktion für Permutationen

Die Signumfunktion ist in diesem Fall auf der Menge der Permutationen definiert und ordnet jeder Permutation +1 oder -1 zu. Das Signum einer Permutation ist +1, falls die Permutation eine gerade Anzahl von Fehlständen besitzt und -1, falls die Anzahl der Fehlstände ungerade ist.
Falls Sie nicht genau wissen, was mit den Begriffen wie Fehlstände oder gerade bzw. ungerade Permutationen gemeint ist, können Sie sich hier informieren.

Beispiele und Bemerkungen:

• Sei p die Permutation, die alle Elemente gleich lässt.
  Dann ist sign(p) = 1, da die Anzahl der Fehlstände gleich 0, also gerade ist.
• Sei p eine Transposition, welche die beiden Elemente 1 und 2 vertauscht.
  Dann ist die Anzahl der Fehlstände gleich 1, nämlich (2,1). Also sign(p) = -1
• Sei p die Permutation, die die Zahlen (1,2,3,4) auf (2,4,1,3) abbildet.
  Dann gibt es folgende Fehlstände: (2,1), (4,1), (4,3). Also sign(p) = -1.
• Die Signumfunktion hat natürlich einige interessante Eigenschaften, wie z.B. sign(p) = sign(p^-1)

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