Stetigkeit

Einführung:

Bei der Betrachtung und Untersuchung von Funktionen ist einer der wichtigsten Begriffe der der Stetigkeit. In unserer Behandlung beschränken wir uns, wie auch in den Artikeln zur Ableitung und zur Integration, zunächst auf Funktionen, die reelle Zahlen auf ebensolche abbilden.
Weiter unten geben wir dann auch noch einen Ausblick auf Verallgemeinerungen des Stetigkeitbegriffs auf andere Funktionen.
Anschaulich gesehen bedeutet die Stetigkeit einer Funktion, dass man diese zeichnen kann, ohne den Stift absetzen zu müssen. Dies ist natürlich keine mathematisch fundierte Definition. Daher wollen wir im Folgenden versuchen (und es wird uns auch gelingen) diese Anschauung mathematisch korrekt zu formulieren. Für diese Aufgabe gibt es in unserem Fall der reellwertigen Funktionen zwei Ansätze, die hier vorgestellt werden sollen.
Vorher muss noch bemerkt werden, dass Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist, d.h. in einem Punkt im Definitionsbereich vorliegen kann oder eben nicht. Eine ganze Funktion nennt man stetig, wenn sie in jedem Punkt des Definitionsbereichs stetig ist.

Definition durch Folgen:

Mit Folgen ausgedrückt bedeutet Stetigkeit an der Stelle x Folgendes:
Für jede beliebige Folge im Definitionsbereich der Funktion, die gegen x konvergiert müssen auch die Funktionswerte der Folgenglieder gegen den Funktionswert von x, also gegen f(x) konvergieren. Dabei ist völlig egal, wie die Folge gegen x konvergiert, also, ob sie sich z.B. von links oder von rechts der Stelle nähert, da die geforderte Eigenschaft eben für alle gegen x konvergierenden Folgen gelten muss.

Beispiel 1:

Beispiel 2:

Interpretation:

In Beispiel 1 ist leicht zu sehen, dass die Funktion an der Stelle x=3 stetig ist, da für jede Folge reeller Zahlen a_n, die gegen 3 konvergiert, die Folge der Funktionswerte f(a_n) gegen den Funktionswert f(3)=1 konvergiert.
In Beispiel 2 gibt es jedoch die zwei Folgen

und

Beide konvergieren gegen die Stelle x=3. Betrachtet man die Funktionswerte der Folgen, so sieht man jedoch, dass

gilt.

Das bedeutet, dass f(a_n) gegen den Wert 1 konvergiert, was auch dem Funktionswert an der Stelle x=3 entspricht.
Für die zweite Folge gilt jedoch

f(b_n)=2.

Somit konvergiert f(b_n) natürlich auch gegen den Wert 2, der eben nicht dem Funktionswert an der Stelle x=3 entspricht.
Die Funktion in diesem Beispiel ist also an der Stelle x=3 nicht stetig, was man ja im Bild auch sehr gut erkennen kann.

ε-δ-Definition:

Die etwas genauere Einführung der Stetigkeit (die jedoch im Fall der von uns betrachteten Funktion äquivalent zu der mittels Folgen ist) basiert auf folgender Überlegung:
Eine Funktion f ist genau dann stetig, wenn eine geringe Abweichung vom x-Wert auch nur eine geringe Abweichung vom f(x)-Wert zur Folge hat. Es sollte jedoch vorsichtig mit dieser Beschreibung umgegangen werden, da der Begriff "gering" nicht gerade mathematisch exakt ist. Wir müssen die Beschreibung also präzisieren. Mathematisch korrekt ist folgende Definition:
Eine Funktion f ist an der Stelle x genau dann stetig, wenn gilt, dass zu jeder Zahl ε>0 eine Zahl δ>0 existiert, so dass aus |x-y|<δ auch |f(x)-f(y)|<ε folgt.
In mathematischen Symbolen sieht das folgendermaßen aus:

Erklärung:
Ausformuliert bedeutet die Definition, dass man zu jeder noch so kleinen Umgebung U_f(x) um den Funktionswert f(x) eine kleine Umgebung U_x um den x-Wert finden kann, so dass diese Umgebung U_x komplett in die Umgebung U_f(x) abgebildet wird.

An dem folgenden Bild kann man gut erkennen, dass dies auch für nichtstetige Funktionen dazu führt, dass man eine ε-Umgebung um f(x) finden kann, zu der man keine passende δ-Umgebung um x finden kann.

Vergleich:

Der ε-δ-Ansatz hört sich im ersten Augenblick vielleicht ein wenig kompliziert an. Allerdings lässt sich damit oft leichter rechnen und Stetigkeit auch wirklich nachweisen. Die einfacher erscheinende Definition mittels Folgen ist zwar gut geeignet, eine Funktion als nichtstetig zu identifizieren, wie wir dies in Beispiel 2 auch getan haben. Man muss ja nur eine Folge a_n finden, die gegen die Stelle x konvergiert, deren Funktionswerte f(a_n) jedoch nicht gegen den Wert f(x) konvergieren. (Es ist einmal wieder darauf hinzuweisen, dass das Wort "nur" mit Vorsicht zu genießen ist, da es nicht immer leicht fällt eine solche Folge zu finden.) Möchte man jedoch die Stetigkeit der Funktion an der Stelle x nachweisen, so muss man eigentlich für jede gegen x konvergierende Folge a_n nachweisen, dass die Folge f(a_n) auch gegen den Wert f(x) konvergiert. Da es im Allgemeinen jedoch unendlich viele solcher gegen x konvergierenden Folgen gibt, kann man dies nicht einfach für eine nach der anderen nachprüfen.

Ausblick:

Wie bereits am Anfang versprochen, wollen wir nun noch einen Ausblick auf andere Möglichkeiten geben, die Stetigkeit einzuführen und zu beschreiben.
(In diesem Ausblick werden eventuell einige unbekannte Begriffe auftauchen. Wir bitten die Leser uns dies nachzusehen, da es für den allgemeinen Stetigkeitsbegriff notwendig ist, mit diesen Begriffen zu argumentieren.)
Die beiden Varianten, die wir bisher hier vorgestellt haben, basieren grundlegend darauf, dass es sich um Abbildungen aus den reellen Zahlen in die reellen Zahlen handelt, bzw. dass es um metrische Räume geht. Im Falle von anderen Funktionen, z.B. in Räume, die keine metrische Stuktur haben, muss der Stetigkeitsbegriff anders definiert werden. Das Vorgehen in diesem Fall ist folgendes:
Der Begriff der offenen Mengen muss vorhanden sein, d.h. es muss sich um topologische Räume handeln, um den Stetigkeitsbegriff einführen zu können. Definiert wird er dann, indem man sagt: Eine Funktion ist stetig, wenn für alle offenen Mengen im Bildbereich gilt, dass ihr Urbild eine offene Menge im Definitionsbereich der Funktion ist.
Dies ist die ganz allgemeine Definition der Stetigkeit, d.h. auch in den oben von uns vorgestellten Varianten gilt diese Definition. Handelt es sich um reelle Zahlen, so kann allerdings gezeigt werden, dass diese Definition äquivalent zu den beiden ausführlich geschilderten Versionen ist, welche ein wenig anschaulicher sind.