Tangenten

1. Einleitung

Intuitive Vorstellung:

Fangen wir ganz einfach an. Gegeben sei uns eine Kurve, d.h. eine gekrümmte Linie. Wir wollen nun an einem vorgegebenen Punkt eine gerade Linie so anlegen, dass diese die Kurve nur berührt, nicht jedoch schneidet. Das nennt man eine Tangente.
Wichtig ist hierbei zu wissen, dass es an einem vorgegebenen Punkt der Kurve jeweils höchstens eine einzige Tangente geben kann. Alle weiteren Geraden, die durch diesen Punkt verlaufen schneiden die Kurve.
Wie der Begriff höchstens oben bereits andeutet, ist es leider nicht so einfach zu sagen, dass es zu jeder Kurve und jedem Punkt auf dieser Kurve genau eine Tangente gibt. Und auch die Bedingung, dass die Tangente die Kurve nicht schneiden darf, muss ein wenig relativiert werden.

Mathematische Erklärung:

Wir betrachten nun nicht mehr einfach nur eine Kurve, sondern stellen uns diese als Funktion oder zumindest als einen Ausschnitt einer reellen Funktion f:R → R vor. Zu einem gegebenen Punkt P(x/f(x)) auf dem Graphen der Funktion f wollen wir nun eine Gerade finden, welche durch den Punkt P verläuft und an dem Punkt P "in die gleiche Richtung" wie f verläuft.
Auch dies bedarf natürlich wieder einer Erklärung:
Mit gleicher Richtung ist in diesem Fall die Steigung gemeint. Eine Gerade ist ja u.a. dadurch gekennzeichnet, dass sie eine feste Steigung hat. Bei beliebigen reellen Funktionen ist dies natürlich nicht so, dennoch kann man sich vorstellen, dass eine Funktion an jedem Punkt eine bestimmte Steigung hat, die sich im Verlauf der Funktion ständig ändert. Befinden wir uns nun also am Punkt P(x/f(x)), so interssiert uns die Richtung, in die f im Folgenden verlaufen wird, und dies wird eben genau durch die Steigung der Funktion f im Punkt P(x/f(x)) ausgedrückt,
Wenn man das nun versucht anschaulich darzustellen, so kommt man unweigerlich zu dem Versuch, eine Gerade an den Punkt P(x/f(x)) so anzulegen, dass sich dieser möglichst an den Graphen der Funktion f "anschmiegt", d.h. diesen Graphen eben nur berührt.

Einschränkungen:

Es muss, wie oben schon angedeutet, darauf hingwiesen werden, dass es in gewissen Fällen Probleme geben kann. So ist beispielsweise nicht für jede Funktion und nicht an jeder Stelle eine Tangente definierbar.
Klar ist, dass die Funktion f keine Sprünge haben darf, d.h. stetig sein muss. Dies allein ist aber noch nicht ausreichend, da es auch stetige Funktionen gibt, die an gewissen Punkten keine Tangenten haben.
(Es gibt sogar stetige Funktionen, welche an keiner Stelle eine Tangente besitzen. Dies zu beweisen würde hier aber zu weit führen.)

Die eigentliche Bedingung dafür, dass eine Funktion f an einem Punkt P(x/f(x)) eine Tangente besitzt ist, dass die Funktion an der Stelle x differenzierbar ist.
Diejenigen, die mit dem Begriff der Differenzierbarkeit Schwierigkeiten haben, verweisen wir an dieser Stelle auf den Artikel über Ableitungen.

Wir wollen jetzt das Verfahren zur Berechnung von Tangenten vorstellen.
Im ersten Teil werden wir dabei nichts anderes machen, als die Ableitung, d.h. die Steigung einer Funktion an einer gegebenen Stelle zu berechnen. Wem dies bereits bekannt ist, der kann getrost den Punkt überspringen. Zur Veranschaulichung der Bedeutung einer Tangente wollen wir dies hier allerdings nochmals aufzeigen. Etwas ausführlicher lässt sich das auch in dem Artikel zu Ableitungen nachlesen.
Für alle diejenigen, die sich mit Grenzwerten nicht auskennen, gibt es hier einen Link auf den entsprechenden Artikel.
Im Anschluss daran erläutern wir dann die Berechnung der Tangente mit Hilfe eben dieser Ableitung.

2. Berechnung der Steigung als Grenzwertprozess

Gebenen sei uns also eine Funktion f und ein Punkt P(x/f(x)) auf dieser Funktion.
Wie bereits erläutert wollen wir nun eine Gerade durch P konstruieren, die an dem Punkt P die gleiche Richtung haben soll wie f.

Bekannterweise benötigen wir zur Definiton einer Geraden zwei Punkte, wir haben jedoch nur den einen Punkt P(x/f(x)) gegeben. Wir wählen uns daher einen zweiten Punkt Q(y/f(y)) auf der Funktion, der sich in der Nähe von P befindet, d.h. die Werte von x und y sollten möglichst nicht zu weit auseinander liegen.

Jetzt können wir die Gerade g durch P und Q konstruieren, indem wir zunächst die Steigung über das bekannte Verfahren berechnen:

Zwar könnten wir jetzt auch den Achsenabschnitt von der Geraden berechnen, doch benötigen wir diesen eigentlich gar nicht, da uns ja an dieser Stelle nur die Steigung interessiert.

Als nächstes wiederholen wir dieses Verfahren mit einem neuen Punkt Q(y/f(y)), welcher diesmal noch näher an P liegt und setzen dieses Verfahren so lange fort, bis wir "unendlich nahe" an P herangekommen sind.
Dies funktioniert mit dem oben erwähnten Grenzwertprozess. Die Steigung der Funktion f im Punkt P(x/f(x)), und somit auch die Steigung der Tangente an f im Punkt P ist somit

Dieser Wert wird auch die Ableitung der Funktion f an der Stelle x genannt und mit f'(x) bezeichnet.
In den Artikeln zu Ableitungen und Ableitungsregeln werden Rechenmethoden erläutert, welche eine Berechnung der Ableitung vereinfachen, so dass man nicht mehr jedes Mal diesen Grenzwertprozess durchlaufen muss. Diese Methoden setzen wir im Folgenden voraus.

Da wir nun wissen, wie wir die Steigung der Funktion f am Punkt P berechnen können, können wir nun auch ganz allgemein die Tangente an die Funktion f am Punkt P ausrechnen.

3. Berechnung der Tangente mit Hilfe der Ableitung

Haben wir nun also eine Funktion f und einen Punkt P(x₀/f(x₀)) auf dieser Funktion gegeben und wollen wir die Tangente an f im Punkt P berechnen, so müssen wir uns klarmachen, was die Eigenschaften sind, die diese Tangente definieren. Dies sind die beiden Eigenschaften, dass sie ebenfalls durch den Punkt P verläuft und an der Stelle x die gleiche Steigung hat, wie f.
(Das wir ab jetzt den Punkt als P(x₀/f(x₀)) und nicht mehr einfach nur als P(x/f(x)) bezeichnen, hat den Vorteil, dass man nicht so schnell mit den ganzen x-Werten, welche im Folgenden auftauchen werden durcheinander gerät.)
Stellen wir also zunächst eine allgemeine Geradengleichung auf: t(x) = mx + n, wobei m die Steigung und n der Achsenabschnitt der Geraden t ist.
Unsere bekannten Informationen lassen sich also mathematisch schreiben als:

1. f(x₀) = t(x₀)
2. f'(x₀) = t'(x₀)

Da unsere Tangente gegeben ist als t(x) = mx + n, wissen wir auch, dass die Ableitung gegeben ist durch t'(x) = m.
Gleichung (2) liefert uns also ganz einfach m = t'(x) = t'(x₀) = f'(x₀), und da uns die Funktion f ja vorgegeben ist, müssen wir diese also nur ableiten und die Stelle x₀ in die Ableitung einsetzen.

Bleibt die Berechnung von n, dem Achsenabschnitt:
Hierfür benutzen wir nun die Kenntnis, dass wir m bereits errechnet haben und die Gleichung (1).
f(x₀) ist eine uns bekannte Zahl und t(x₀) = mx₀ + n.
Einsetzen von m = f'(x₀) und Auflösen nach n liefert: n = f(x₀) - f'(x₀)*x₀.

Somit haben wir sowohl m, als auch n errechnet und damit die Tangente an f im Punkt P.

4. Beispiele

Beispiel 1:

Geben sei die Funktion f(x) = x², und wir wollen die Tangente im Punkt (2,4) berechnen.
Zunächst stellen wir also die allgemeine Tangentengleichung auf:
t(x) = mx + n.
Nun berechnen wir die Ableitung von f an der Stelle x₀ = 2.
Es gilt f'(x) = 2x und somit f'(2) = 4.
Dies können wir nun bereits in unsere Tangentengleichung einsetzen und erhalten als Zwischenschritt:
t(x) = 4x + n.
Die zweite Eigenschaft f(x₀) = t(x₀), d.h. in unserem Fall f(2) = t(2) liefert uns nun
4 = 4*2 + n, also 4 = 8 + n und das liefert nach Auflösen nach n:
n = -4.
Insgesamt erhalten wir also
t(x) = 4x - 4.

Beispiel 2:

Gegeben sei die Funktion f(x) = 3x⁴ - x³ - 4x² + 2x - 8 und die Stelle x₀ = -1.
Die Ableitung von f ist also f'(x) = 12x³ - 3x² - 8x + 2.
Die allgemeine Tangentengleichung lautet wie immer
t(x) = mx + n.
Daraus folgt, dass sich m berechnen lässt durch
m = f'(-1) = 12*(-1)³ - 3*(-1)² - 8*(-1) + 2 = -12 - 3 + 8 + 2 = -5.
Einsetzen in die Tangentengleichung liefert:
t(x) = -5x + n.
Aus f(-1) = 3 + 1 - 4 - 2 - 8 = -10 und t(-1) = 5 + n folgt
-10 = 5 + n, also n = -15.
Insgesamt erhalten wir also t(x) = -5x -15.

5. Probleme bei der Tangentenberechnung

Wie bereits oben erwähnt kann nicht für jede Funktion an jeder Stelle eine Tangente angegeben werden. Eine wichtige Bedingung hierbei ist, dass die Funktion differenzierbar ist.
Dass dies gefordert wird, sollte nicht unbedingt überraschen, da wir ja schon gesehen haben, dass zur Berechnung der Tangente die Ableitung benötigt wird.
Wir wollen jetzt noch an einem Beispiel aufzeigen, warum es im Falle einer Funktion, welche an einer Stelle nicht differenzierbar ist, keine Tangente geben kann.
Betrachten wir folgende Funktion:

Die Funktion ist stückweise definiert und wie man an der graphischen Darstellung schön erkennen kann ist sie zwar stetig, an der Stelle x = 1 jedoch nicht differenzierbar.

Genau an dieser Stelle x = 1 wollen wir jetzt zeigen, dass es keine Tangente geben kann.
Wir erinnern uns, dass die Tangente dadurch definiert ist, dass sie an dem Punkt, an welchem sie angelegt werden soll, in der gleichen Richtung wie die Funktion verlaufen soll. Konstruiert haben wir das Ganze über einen Grenzwertprozess. Um zu sehen, wie eine eventuelle Tangente am Punkt P(1/1) aussehen würde betrachten wir einfach Tangenten, die an einem Punkt in der Nähe von P angelegt sind und verschieben diesen Punkt dann immer weiter in Richtung P. Wir vollziehen also wieder einen Grenzwertprozess, nur diesmal mit ganzen Tangenten.
Wie man an dem Bild gut erkennen kann, würden wir unterschiedliche Kandidaten für die Tangente bei P bekommen, je nachdem, ob wir uns P von links oder von rechts nähern. Einmal erhalten wir eine Tangente mit der Steigung 2 und einmal eine mit der Steigung -2. Da dies jedoch nicht sein kann, sehen wir, dass es für diese Funktion an der Stelle x = 1 keine Tangente geben kann.

6. Spezielle Tangenten

Tangenten mit der Steigung 0:

Ebenso wie wir bisher zu einer gegebenen Funktion und einem vorgegebenen Punkt auf dieser Funktion die zugehörige Tangente bestimmt haben, können wir natürlich auch zu einer vorgegebenen Funktion alle die Punkte auf dieser Funktion errechnen, die eine bestimmte Art von Tangente besitzen, z.B. solche mit der Steigung 0, also waagerechte Tangenten.

Wie wir von der Kurvendiskussion her wissen, ist das eine äußerst sinnvolle Frage, da wir damit alle möglichen Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion finden können.
Das genaue Verfahren, wie man diese Hoch- und Tiefpunkte berechnet, ist auf dem Artikel zur Kurvendiskussion nachzulesen. An dieser Stelle wollten wir nur nochmal den Zusammenhang zu den Tangenten aufzeigen.

Wendetangenten:

Ein weiterer spezieller Fall von Tangenten sind solche, die sich an Wendepunken einer Funktion befinden und daher auch Wendetangenten genannt werden. Berechnet werden diese Tangenten, wie alle anderen auch, nur ist bei der Fragestellung nach der Wendetangente zu beachten, dass natürlich erst einmal die Wendepunkte ausgerechnet werden müssen. Sind diese erfolgreich berechnet, so fährt man einfach genauso fort, wie dies oben erklärt ist, da man sich ja dann in der Situation befindet, dass man eine Funktion und einen (bzw. mehrere) Punkte auf dieser gegeben hat und nun die zugehörige Tangente (bzw. Tangenten) erechnen soll.
Warum führen wir diese Wendetangenten dann aber hier trotzdem als Spezialfall auf?
Bei Wendetangenten tritt ein besonderes Phänomen auf, welches wir bisher noch nicht gesehen haben, auch wenn es gleich zu Beginn des Artikels angedeutet wurde. Wendetangenten schneiden die Funktion.
Da Wendepunkte genau die Punkte sind, an denen sich die Krümmung ändert, hat dies zur Folge, dass die an ihnen angelegten Tangenten die Funktion eben nicht nur berühren, wie wir dies ursprünglich in unserer intuitiven Definition der Tangenten haben wollten, sondern sie schneiden die Funktion, wie man an dem Bild sehr schön erkennen kann.

Trotzem handelt es sich auch hierbei wirklich um Tangenten, da wir ja in der Definition der Tangenten zu der Bedingung übergegangen sind, dass diese an dem vorgegebenen Punkt in der gleichen Richtung wie unsere Funktion verlaufen sollen und dies trifft hier eindeutig zu.