Sinus- und Cosinussatz

Problem

Es sind Seitenlängen oder Winkel eines ebenen Dreiecks aus gegebenen Längen dieses Dreiecks zu berechnen. Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, so kann man meist ganz leicht mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und der Winkelfunktionen vorgehen. Ist jedoch das Dreieck nicht rechtwinklig, so kann man meist mit Hilfe des Sinus- und des Cosinussatzes vorankommen, um diese Sätze soll es in diesem Artikel gehen.

Notation

Wir werden im Folgenden ein festes Dreieck betrachten

dessen Größen wir – im Bild angedeutet – wie folgt bezeichnen:

• Die Eckpunkte mit A, B, C in der Reihenfolge, dass die alphabetische Sortierung mit der mathematisch positiven Umlaufrichtung zusammenfällt.
• Die Winkel mit , und , wobei bei A, bei B und bei C liegt.
• Die Seiten mit a, b und c, wobei sich mit gleichen Buchstaben bezeichnete Seiten und Punkte gegenüberliegen, zwecks Vereinfachung wollen wir in der Notation nicht zwischen den Seiten und ihren Längen unterscheiden.

Sinussatz - Aussage und Beweis

Der Sinussatz ist im gewissen Sinne eine Präzisierung der Beobachtung, dass längeren Seiten die größeren Winkel gegenüberliegen, genauer:

Die Längen der Seiten im Dreieck ABC verhalten sich wie die Sinus¹ der gegenüberliegenden Winkel, d.h. es gilt

Das erscheint - zumindest so der qualitative Aspekt – doch recht plausibel, aber das ist natürlich kein Beweis. Einen solchen wollen wir hier kurz geben, da er auch im Umgang mit Längen und Winkeln am Dreieck übt. Sollten Sie daran nicht interessiert sein, können Sie ihn überspringen und gleich hier weiterlesen.
Zum Beweis betrachten wir unser Dreieck

Da uns die Winkelfunktionen von der Definition her nur aus rechtwinkligen Dreiecken bekannt sind, sollten wir versuchen, unser Problem auf ein Problem mit rechtwinkligen Dreiecken zurückzuführen. Zeichnen wir doch einmal die Höhe h_c ein, das ist die Gerade durch C, die auf der Geraden durch c senkrecht steht, und bezeichnen den Schnittpunkt mit (der Geraden durch) c mit S:

Wir haben nun zwei rechtwinklige Dreiecke ASC und SBC vor uns. Wir wollen etwas über den Sinus von und aussagen, also drücken wir diese doch einmal in Größen der rechtwinkligen Dreiecke aus. Es ist der Sinus das Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse (siehe auch hier), wir erhalten:

• In ASC ist h_c die Gegenkathete von und b die Hypotenuse, also gilt
• Im Dreieck SBC ist die Gegenkathete von gerade h_c, die Hypotenuse ist a, also gilt

Setzen wir beide Gleichungen zusammen, so folgt



Damit sind wir aber fertig, denn für und c ergibt sich unsere Behauptung vollkommen analog (denn Namen sind Schall und Rauch), das soll heißen: In einem Dreieck sind alle drei Seiten resp. Winkel gleichberechtigt, was wir hier für a und b gemacht haben, hätten wir mit gleichem Recht (und Ergebnis) auch mit b und c oder mit c und a machen können.
Hierbei sei gleich auf ein wichtiges Prinzip für Formel über Winkel und Seiten in Dreiecken hingewiesen:

Zyklische Vertauschung

Eine Formel, die Winkel und Seiten beliebiger ebener Dreiecke in Beziehung setzt, bleibt richtig, wenn man zyklisch vertauscht, d.h. man ersetzt jede Dreiecksgröße durch die nächste (alphabetisch, nach c fange wieder bei a an), dieses Vorgehen heißt deshalb zyklische Vertauschung, weil das Vertauschen anhand folgender Diagramme abläuft:



Als Beispiel sei hier noch einmal der Sinussatz betrachtet: Wir wissen bereits, dass für beliebige ebene Dreiecke stets



ist. Vertauschen wir zyklisch, so ergibt sich, dass auch



stets richtig ist.

Der Cosinussatz - Aussage und Beweis

Der Cosinussatz ist eine Anpassung des Satzes von Pythagoras für beliebige ebene Dreiecke. Wir betrachten dazu ein rechtwinkliges Dreieck



Machen wir nun stumpfer, so wird die Quadratfläche über a und b kleiner



wird spitzer, so werden die Flächen entsprechend größer, es ergibt sich



Es ist also anschaulich einleuchtend, wie sich a² + b² im Vergleich zu c² ändert, wenn wir ändern. Der Cosinussatz macht dieses Verhältnis präziser, er besagt:

In einem ebenen Dreieck ABC gilt stets



Auch dieser Satz erscheint qualitativ plausibel (der Cosinus wird kleiner, wenn größer wird, ist negativ, wenn größer als 90° ist, und positiv, falls kleiner ist). Auch diesen Satz wollen wir exercendi causa beweisen, Sie können den Beweis überspringen und gleich mit den Beispielen fortfahren.

Für den Beweis behandeln wir zunächst den spitzen Fall, das heißt ein Dreieck der Form


Wir betrachten wieder eine – schon eingezeichnete Höhe – diesmal allerdings über der Seite a, der Schnittpunkt von h_a und a heiße S. Wir erhalten die zwei rechtwinkligen Dreiecke ABS und SCA. Betrachten wir zunächst das Dreieck ABS wir erhalten nach Pythagoras, dass und genauso ist in SCA Setzen wir unsere Gleichungen zusammen, so ergibt sich, da ja a = BS + CS ist, dass Im Dreieck SCA ist nun aber CS die Ankathete von und b die Hypotenuse, d.h., es ist wir erhalten also Das aber hatten wir behauptet.
Im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks geht man genauso vor, wieder erhalten wir – da alle Seiten gleichberechtigt sind – durch zyklische Vertauschung die ebenfalls wahren Aussagen:

Beispiele

Die folgenden Beispiele sollen die Anwendung des Sinus- und des Cosinussatzes zur Berechnung mancher Größen eines Dreiecks aus anderen illustrieren, in der Regel reichen drei Stücke aus, um die anderen zu berechnen.

• Seien etwa a = 3, b = 4 und c = 6 gegeben, wir wollen alle Winkel berechnen.
  Vergewissern wir uns zunächst einmal, dass die gegebenen Seiten tatsächlich die drei Seiten eines Dreiecks sein können, dazu muss die Summe je zweier Seiten länger sein als die dritte, hier ist Da uns nun alle drei Seiten bekannt sind, kennen wir im Cosinussatz alle bis auf eine auftretende Größe, d.h. wenn wir nach cos auflösen, können wir berechnen, wir erhalten durch Umformen: setzen wir ein, so erhalten wir und damit können wir berechnen: Zur Berechnung von haben wir nun zwei Möglichkeiten: Wir können den Sinus- oder den Cosinussatz benutzen, in so einem Fall empfiehlt es sich, den Cosinussatz zu benutzen, da der Cosinus im Gegensatz zum Sinus einen Winkel zwischen 0° und 180° eindeutig bestimmt, so ist zum Beispiel sin 150° = sin 30°. Wir berechnen also mit Hilfe des Cosinussatzes, dabei wissen wir, dass Wir setzen ein, es folgt und damit Nun müssen wir noch berechnen, wir können entweder erneut den Cosinussatz benutzen, oder, was einfacher scheint, ausnützen, dass die Winkelsumme im ebenen Dreieck stets 180° beträgt, wir erhalten also Damit haben wir alle fehlenden Teile des Dreiecks berechnet und können nun zum Beispiel das Dreieck skizzieren:
• Als Nächstes betrachten wir a = 4, b = 2, = 50°.
  Haben wir zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel gegeben, so können wir mit Hilfe des Cosinussatzes offenbar die letzte Seite berechnen, wir haben Da Seitenlängen stets positiv sind, können wir die Wurzel ziehen, und erhalten Nun haben wir alle drei Seiten und können wie im letzten Beispiel einen zweiten Winkel mit dem Sinus oder dem Cosinussatz berechnen, wir entscheiden uns für den Cosinussatz und erhalten wegen dass also können wir nun erneut mit Hilfe der Dreieckswinkelsumme berechnen, es ist Damit können wir nun zum Beispiel das Dreieck skizzieren:
• Wir wollen nun ein Beispiel betrachten, in dem die Anwendung des Sinussatzes nötig ist: Es seien c = 4, = 50°, = 70°, und wir wollen die restlichen Größen berechnen.
  Zunächst können wir natürlich mit Hilfe der Winkelsumme bestimmen, es ist Mit Hilfe des Sinussatzes können wir nun eine der anderen Seiten berechnen, denn wir kennen doch mit c und den stets gleichen Quotienten von Seiten und Winkelsinus, es ist Wir setzen ein und erhalten \begin{eqnarray*} a &=& 4 \cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 60^\circ}\\ &\approx& 3,54 \end{eqnarray*} Genauso erhalten wir wegen dass \begin{eqnarray*} b &=& 4 \cdot \frac{\sin 70^\circ}{\sin 60^\circ}\\ &\approx& 4,34 \end{eqnarray*} Damit haben wir alles berechnet:
• Mal angenommen, wir wissen, dass a = 5, b = 3 und = 20° und wollen die anderen Stücke berechnen.
  Zunächst fällt uns auf, dass wir eine Seite und ihren gegenüberliegenden Winkel gegeben haben, hier a und . Damit ist uns der Quotient aus dem Sinussatz bekannt, wir können damit aus dem dritten Stück (hier b) die entsprechende Seite resp. den entsprechenden Winkel (hier ) berechnen. Es ist durch Einsetzen erhalten wir und damit muss einen der folgenden Werte haben Haben wir zwei Winkel so können wir, da die Winkelsumme im Dreieck stets 180° beträgt, den dritten berechnen, es ergeben sich für unsere beiden -Werte entsprechend: Damit haben wir alle Größen bis auf c bestimmt, es bietet sich an, c mit Hilfe des Sinussatzes zu bestimmen. Wir haben doch Damit ergibt sich für unsere beiden Werte von c Nun müssen wir noch überprüfen, ob unsere Lösungen tatsächlich Dreiecke beschreiben. Das ist für c₁ der Fall, für c₂ aber nicht, da und in einem Dreieck sind zwei Seiten zusammen stets länger als die dritte. Wir haben also als Lösung Hier wieder eine Skizze des Dreiecks:

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1. Sinus kommt aus dem Lateinischen und heißt Bogen, der Plural ist Sinus (mit langem u) und nicht etwa Sini oder Sinusse (trotz Duden). zurück