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Ungleichungen

Das Problem

Wenn man eine Mannschaft mit mindestens acht Spielern zusammenstellen will, und drei Spieler bereits hat, wieviele benötigt man dann noch? Hierbei handelt es sich um die folgende Aufgabe: Gesucht ist die Lösung der Ungleichung

Oder wenn man einen Ausflug mit einem Boot plant, in dem höchstens zwölf Menschen mitfahren können, die Besatzung aber bereits fünf der zwölf Personen ausmacht, wieviele Personen darf man dann höchstens mitnehmen? Dabei geht es um die Lösung der Ungleichung:

Da in beiden Fällen nach einer Anzahl von Menschen gefragt wird, ist die Lösungsmenge eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Die in diesem Artikel behandelten Ungleichungen sind von der Form

oder aber auch

wobei man je nach Aufgabenstellung einen geeigneten Zahlenbereich als Lösungsmenge angeben kann. Geht keine bestimmte Einschränkung der Lösungsmenge, wie im obigen Beispiel, aus dem Text hervor, ist diese meist eine Teilmenge der reellen Zahlen.

Die Lösung

  • Lineare Ungleichungen: Zunächst einmal wollen wir lineare Ungleichungen betrachten, also solche, in denen Polynome ersten Grades auftreten. Folgende Ungleichung beispielsweise:
    wobei die Lösungsmenge eine Teilmenge der ganzen Zahlen Z sein soll.
    Das ist noch relativ einfach, man "denkt" sich anstelle des Ungleichheitszeichen einfach ein Gleichheitszeichen, löst die entstandene Gleichung nach x auf und überlegt sich, dass bei
    alle Zahlen kleiner oder gleich diesem x aus dem Definitionsbereich die Ungleichung lösen und bei
    halt solche größer oder gleich. Bei diesem Beispiel erhalten wir als Lösung alle ganzen Zahlen kleiner oder gleich 6.
    Es gibt jedoch noch zwei weitere Dinge zu beachten:
    1. Multiplikation mit -1 dreht die Ungleichung um. Das erläutert man am besten an einem Beispiel: Wenn man die Ungleichung
      nach x auflösen möchte, dann erhält man zunächst
      und um nun wirklich nach x aufzulösen, muss man im letzten Schritt die Ungleichung mit -1 multiplizieren und die Ungleichung umdrehen:
      Wieso wir das Ungleichheitszeichen umdrehen müssen, werden sich einige fragen. Dazu betrachten wir die Ungleichung
      und erkennen, dass z. B. x=-2 eine Lösung ist. Da diese Ungleichung ja dasselbe sein soll, wie die zuvor, müsste -2 auch davon eine Lösung sein und das ist auch der Fall, da
      gilt. Hätten wir bei der Multiplikation mit -1 die Ungleichung nicht umgedreht, d. h.
      wäre die erhaltene Ungleichung, dann hätten wir als Lösung zum Beispiel x= -8, was jedoch keine Lösung der Ungleichung
      ist, da
      Hier noch einmal zur Veranschaulichung ein Bild:
    2. Bei Bildung des Kehrwerts auf beiden Seiten der Ungleichung dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
      Bis jetzt haben wir nur Ungleichungen in ganzen Zahlen betrachtet, man kann dies aber auch analog für rationale Zahlen machen. Man kann sich das an folgender Ungleichung veranschaulichen:
      Wenn wir nun auf beiden Seiten den Kehrwert nehmen und das Ungleichheitszeichen umdrehen, erhalten wir
      was offensichtlich richtig ist. Auf Ungleichungen, in denen eine Unbekannte vorkommt, übertragen, könnte man dies anwenden, wenn eine Gleichung der Form
      gegeben ist. Wenn wir vorhergehendes verwenden erhalten wir hierbei
  • Quadratische Ungleichungen: Hierbei geht es um Ungleichungen des Typs
    Hier gibt es nun zwei verschiedene Lösungsmöglichkeiten:
    1. Man geht so ähnlich vor wie im Fall der linearen Gleichungen, man "denkt" sich anstelle des Ungleichheitszeichen ein Gleichheitszeichen, stellt die Gleichung so um, dass auf der einen Seite Null steht und löst dann die Gleichung mit der p-q-Formel auf (wobei darauf zu achten ist, dass die Gleichung normiert sein muss). Danach kann man sich dann überlegen, wie man die Ungleichung einfließen lässt und erhält als Ergebnis, dass man bei Ungleichungen mit
      als Lösungsmenge den Bereich zwischen den beiden Nullstellen (inklusive dieser) hat.
      Wenn man beim
      y und z als Nullstellen des Polynoms erhält, wobei ohne Einschränkung y < z gelten soll, dann ist die Lösungsmenge:

      Wenn man aber nur eine Nullstelle der umgeformten Gleichung erhält, dann ist nur diese Lösung der Ungleichung. Beispiele hierzu folgen weiter unten.
    2. Manchmal kann man aber auch einen anderen Weg wählen, um quadratische Ungleichungen zu lösen und zwar mit der quadratischen Ergänzung. Diesen erläutert man am besten anhand eines Beispiels:
      Gegeben sei die Ungleichung
      Um das Quadrat loszuwerden, ziehen auf beiden Seiten die Wurzel. Hierbei ist darauf zu achten, dass es immer eine positive und eine negative Wurzel gibt und da wir als Ungleichheitszeichen ein kleinergleich haben (siehe unter 1.), gilt:

Beispiele

  • Löse die Ungleichung

    Diese wollen wir wie die quadratische Ungleichung in 1. lösen. D. h. wir formen die Gleichung so um, dass die rechte Seite Null wird und denken uns anstelle des Ungleichheitszeichens zunächst ein Gleichheitszeichen. Somit erhalten wir
    und da diese Gleichung schon normiert ist können wir die p-q-Formel anwenden:
    Das heißt, wir haben nun die Lösungswerte dieser Gleichung berechnet (durch Einsetzen kann man auch leicht überprüfen, dass diese stimmen) und müssen uns nun noch überlegen, inwiefern das Ungleichheitszeichen eine Rolle spielt. Wir befinden uns ja wieder im Fall von kleiner oder gleich und somit ist die Lösungsmenge

    Anhand von einzelnen Werten kann man auch überprüfen, ob dies so stimmt. Somit erhalten wir z.B.
  • Man bestimme die Lösungen für die Ungleichung

    Hierbei wollen wir wieder den Lösungsweg für quadratische Ungleichungen in 1. gehen. Zunächst normieren wir die Ungleichung
    dann formen wir die rechte Seite zu Null um und denken uns zunächst ein Gleichheitszeichen:

    Nun können wir mit Hilfe der p-q-Formel die Nullstellen bestimmen:
    Wiederum kann man auch hier durch Einsetzen überprüfen, dass diese Werte die Gleichung lösen, und wir überlegen uns, inwieweit das Ungleichheitszeichen einfließt. Da wir im Fall von größer oder gleich sind, ergibt sich somit die Lösungsmenge

    Anhand einzelner Werte wollen wir eine Probe durchführen, um zu sehen, ob dies auch zutreffen kann. Wir erhalten z.B.
  • Man bestimme alle Lösungen der Ungleichung

    Hierbei betrachten wir den Lösungsweg für lineare Ungleichungen. Als Erstes müssen wir 3/5 auf beiden Seiten subtrahieren und erhalten:
    Um nun das x alleine auf einer Seite stehen zu haben, muss man auf beiden Seiten mit
    multiplizieren, wobei sich das Ungleichheitszeichen umdreht:
  • Löse die Ungleichung:
    Bei genauem Hinsehen erkennt man, dass die quadratische Ergänzung (siehe quadratische Ungleichungen 2.) die Berechnung deutlich erleichtert und es sich hierbei um die erste binomische Formel handelt. Somit erhalten wir:
    Nun ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel und beachten, dass es immer eine positive und eine negative Wurzel gibt. Als Lösung erhalten wir schließlich:

Links

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