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Volumenberechnungen

Das Problem

In dem folgenden Artikel wollen wir das Volumen von bestimmten Körpern im dreidimensionalen Raum berechnen. Dabei gehen wir analog zu dem Artikel Elementare Flächenberechnung vor. Auch hier lässt sich ein Großteil der Formeln durch Anwendungen der Integralrechnung herleiten, doch wollen wir uns zunächst darauf konzentrieren, die Formeln anzugeben.

Die Lösung

Auch bei der Volumenberechnung einfacher Körper ist es sehr hilfreich, sich die jeweiligen Objekte zu skizzieren und gut zu beschriften. Dann wird man sich bei der Berechnung bzw. dem Einsetzen in die Formeln mit Sicherheit leichter tun.
Wir zeigen hier wieder die einfachen Körper, wie Quader, Würfel und Pyramiden. Auch die Volumenformeln für Kugeln und Tori werden wir angeben, die sich zu den anderen Objekten dadurch unterscheiden, dass sie nicht durch ebene Flächen, sondern durch gekrümmte begrenzt sind. Sie sind allerdings, als Spezialfälle von Körpern mit gekrümmten Flächen als Begrenzung, trotzdem einfach genug zu berechnen.
Bei anderen, insbesondere nicht-regelmäßigen Objekten muss man entweder versuchen, diese in mehrere der von uns aufgeführten Objekte zu zerteilen, oder durch mehrdimensionale Integration das Volumen berechnen. Dies führt an dieser Stelle jedoch eindeutig zu weit.

  • Quader:

  • Würfel:

  • Pyramide:



    Hierbei bezeichnet AG die Grundfläche der Pyramide, welche ein beliebiges regelmäßiges Vieleck sein kann. Zur Berechnung dieser Grundflächen siehe den Artikel zu Elementare Flächenberechnung.
  • Pyramidenstumpf:



    Hierbei bezeichnen AG die Grundfläche der Pyramide und AD die Deckfläche (d.h. die Fläche an der Stelle, wo der Oberteil der Pyramide abgeschnitten wurde). aG und aD bezeichnen die Seitenlängen der gleichmäßigen Vielecke, welche die Grund- und Deckfläche darstellen. h ist die Höhe von der Grund- bis zur Deckfläche.
  • Zylinder (Kreiszylinder):



    Wir beschränken uns an dieser Stelle auf Kreiszylinder, d.h. solche Zylinder, deren Grundfläche ein Kreis ist, was im zweiten Teil der Formel auch bereits berücksichtigt ist.
    Man kann aber auch Zylinder mit beliebigen Grundflächen betrachten, und der erste Teil der Formel bleibt erhalten, nämlich V = AGh, d.h. das Volumen ist gleich Grundfläche mal Höhe.
  • Schräg abgeschnittener Kreiszylinder:



    Die beiden verschiedenen Höhen h1 und h2 bezeichnen die jeweilige Höhe an der höchsten und an der tiefsten Stelle.
  • Kegel (Kreiskegel):



    Auch bei den Kegeln beschränkten wir uns an dieser Stelle, wie schon bei den Zylindern, auf solche mit einer kreisförmigen Grundfläche. Auch hier gilt aber, dass der erste Teil der Formel bei beliebigen Grundflächen ebenfalls stimmt, d.h., das Volumen ist gleich Grundfläche mal Höhe durch drei.
  • Gerader Kreiskegelstumpf:



    Hierbei bezeichenen R den Radius der Grundfläche und r den Radius der Deckfläche. h ist die Höhe von der Grund- zur Deckfläche.
  • Kugel:



    Hierbei bezeichnen D den Durchmesser und r den Radius der Kugel.
  • Torus:



    Hierbei bezeichnen R den Radius von der Mitte bis zur Mitte des Torusrings und r den Radius des Kreises, welcher den Torusring umschließt.