Wachstumsfunktionen
Das Problem
Wir wollen untersuchen, wie man das Anwachsen eines gegebenen Bestandes bestimmen kann. Dieser Bestand kann ein Bankkonto sein, dem jährlich Zinsen gutgeschrieben werden. Das Kaptial wächst somit sprunghaft. Wenn man den Holzbestand eines Waldes betrachtet, spricht man von kontinuierlichem oder stetigem Wachstum. In der Natur verlaufen viele Vorgänge sprunghaft; man kann sie jedoch näherungsweise als kontinuierliches Wachstum auffassen, z.B. die Vermehrung einer Bakterienkolonie. Es sind also Funktionen der Form f(x)=a*bx zu finden. Ist a=1 und b>0 so ist die Funktion wachsend und für 0<b<1 ist sie fallend (also negativ wachsend).
Die Lösung
Die Idee von Wachstumsfunktionen ist folgende: Es sind verschiedene Messwerte gegeben, und man möchte nun herausfinden, durch welche Funktion sich das Anwachsen dieses Bestandes darstellen lässt. Da die in der Natur auftretenden Bestände fast nie linear anwachsen (d.h. die Steigung der Funktion ist überall gleich), muss man nun den Quotienten der jeweils aufeinander folgenden Zeitpunkte betrachten. Wenn die Zeitintervalle die Länge h haben und f(t) die Größe des Bestandes zur Zeit t ist, muss man sich für alle t den Quotienten f(t+h)/f(t)=c anschauen. Dieser hängt nur von h ab, jedoch nicht vom Zeitpunkt t. Folglich gilt:
Zusammenfassung:
1. Messdaten tabellieren
2. Quotienten bilden
3. Funktion aufstellen
Beispiele
Wir betrachten nun ein Beispiel, in dem es um das Anwachsen einer Bakterienkultur geht. Beginnend mit 10000 Bakterien wird nun stündlich (d.h. h=1) die Anzahl der Bakterien gemessen. Es ergibt sich:
t in Stunden 0 1 2 3 4 5 f(t) 10000 12900 16800 22000 28400 37000
Für die Quotienten ergibt sich:t 0 1 2 3 4 f(t+1)/f(t) 1.29 1.30 1.31 1.29 1.30
Man sieht nun, dass der Quotient für alle Intervalle nahezu identisch ist. Mit diesen Werten gilt für unsere Wachstumsfunktion näherungsweise:
Nun betrachten wir ein Beispiel, bei dem es um die Halbwertszeit von radioaktiven Substanzen geht. Die Halbwertszeit eines radioaktiven Elementes ist die Zeit, in der die Hälfte der anfangs vorhandenen Atome zerfallen ist. Hier geht es also um negatives Wachstum. f(t) ist die Anzahl der zur Zeit t noch nicht zerfallenen Atome.
t in Tagen 0 1 2 3 4 5 f(t) 5*1010 4.25*1010 3.5*1010 2.9*1010 2.5*1010 2.1*1010
Für die Quotienten ergibt sich:t 0 1 2 3 4 f(t+1)/f(t) 0.85 0.82 0.82 0.86 0.84
Man sieht nun, dass der Quotient c=0.84 für alle Intervalle nahezu identisch ist. Mit diesen Werten gilt für unsere Wachstumsfunktion näherungsweise:
Exponentialfunktion/Logarithmusfunktion Die Exponentialfunktion ist von der Form f(x)=ex und ihre Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion mit der Funktionsgleichung f-1(x)=ln(x). Es gilt nämlich: eln(x)=x und ln(ex)=x. Als Beispiel betrachten wir die jährliche Wachstumsrate der Bevölkerungszahl einer Stadt. Sie wird für den Zeitraum der nächsten 5 Jahre auf mindestens 2% und maximal 3.5% geschätzt. Die Einwohnerzahl beträgt zum Zeitpunkt t=0 300000. Wir gehen von exponentiellem Wachstum aus und suchen eine Funktion f1 mit f>sub>1(t)=f1(0)*ek1*t für das 2%-Wachstum und eine Funktion f2 mit f2(t)=f2(0)*ek1*t für das 3.5%-Wachstum. Nach einem Jahr ergibt sich:
f1(1)= 300000+300000*2/100= 300000*(1+2/100)= 300000*1.02 f2(1) 300000+300000*3.5/100 300000*(1+3.5/100)= 300000*1.035
Hier sind 1,02 bzw. 1.035 die Wachstumsfaktoren. Nun wollen wir die Wachstumskonstanten k1 und k2 bestimmen. Es gilt nach obigen Berechnungen:
Links
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