Zufallsexperimente

Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau, der im Prinzip beliebig oft durchführbar ist und dessen Ergebnisse (es sollte zumindest zwei mögliche Ergebnisse geben) nicht vorhersehbar sind.
Beispiel: Würfeln.
Hier gibt es sechs mögliche Ergebnisse, und zwar die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Die Menge aller möglichen Ergebnisse Ω heißt Ergebnismenge.
In unserem Beispielfall ist also Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Allerdings kann man sich auch andere Ergebnismengen zum gleichen Experiment vorstellen. Interessiert beispielsweise nur, ob die gewürfelte Zahl durch zwei teilbar ist, so könnte man als Ergebnismenge auch Ω = {gerade, ungerade} wählen.
Wichtig bei der Wahl der Ergebnismenge ist allerdings, dass es nicht passieren darf, dass ein Ergebnis eintritt, welches nicht in der Ergebnismenge vorhanden ist. Beispielsweise ist die Ergebnismenge Ω = {1,2,4,5,6} nicht für das Zufallsexperiment Würfeln zulässig, da beim Würfeln auch eine 3 eintreten könnte, dieses Ergebnis jedoch in der Ergebnismenge nicht vorhanden ist.

Besteht nun ein Zufallsexperiment aus mehreren Einzelexperimenten (beispielsweise dreimal würfeln), so sind die möglichen Ergebnisse Tupel von Ergebnissen (in diesem Fall bestehen sie aus jeweils drei Zahlen).
Dargestellt werden können solche mehrstufigen Zufallsexperiment durch Baumdiagramme, welche später noch erläutert werden.
Beispiel: Dreimaliger Münzwurf
Die Ergebnismenge ist in diesem Fall Ω = {(KKK),(KKZ),(KZK),(KZZ),(ZKK),(ZKZ),(ZZK),(ZZZ)}, wobei K für Kopf und Z für Zahl steht. (KZZ) bedeutet also, dass im ersten Wurf Kopf erscheint, im zweiten Wurf Zahl und im dritten Wurf ebenfalls Zahl erscheint.

Um jetzt nicht nur die Wahrscheinlichkeiten von Einzelresultaten, also den Elementen der Ergebnismenge berechnen zu können, sondern auch von komplizierteren Angaben, wie der Frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass bei drei Münzwürfen mindestens zweimal Kopf erscheint, definieren wir Folgendes:
Jede Teilmenge der Ergebnismenge heißt Ereignis.
Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignismenge.

Besitzt die Ergebnismenge nun genau n Elemente, so besitzt der Ereignisraum genau 2ⁿ Elemente.
Im einfachen Würfelexperiment gibt es also 2⁶ = 64 mögliche Ereignsse.

Nun kommen wir langsam zu den wirklichen Wahrscheinlichkeiten. Wir definieren uns jetzt nämlich eine Funktion, die jedem unserer Ereignisse eine Wahrscheinlichkeit zuordnet:
Eine Funktion P, die jeder Teilmenge A einer endlichen Ergebnismenge Ω eine reelle Zahl P(A) zuordnet heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung (bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion), wenn sie folgende drei Bedingungen erfüllt:

1. P(A) 0 (Nichtnegativität)
2. P(Ω) = 1 (Normiertheit)
3. P(AB) = P(A) + P(B), falls AB = ist (Additivität)

Erklärung der drei Bedingungen:
Zu (1.): Es ist sicherlich sinnvoll zu fordern, dass es keine negativen Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen eines Ereignisses geben soll. Die Wahrscheinlichkeit 0 ist sehr wohl erlaubt.
Zu (2.): Diese Bedingung spiegelt die Forderung wieder, dass jedes mögliche Ergebnis in der Ergebnismenge vorhanden sein soll. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis aus der Ergebnismenge eintritt ist also gleich 1.
Zu (3.): Auch diese Forderung ist intuitiv klar. Besitzen zwei Ereignisse kein gemeinsames Element der Ergebnismenge, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden Ereignisse eintritt, natürlich gleich der Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, eine 5 oder eine 6 zu würfeln, ist eben genau so groß, wie die Wahrscheinlichkeit, eine 5 zu würfeln plus der Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln.

Aus den geforderten Eigenschaften ergeben sich nun einige weitere Eigenschaften für Wahrscheinlichkeitsverteilungen:

• P(A) 1
  Beweis:
  P(Ω) = 1 P(A) + P(Ω\A) = 1 P(A) = P(Ω) - P(Ω\A) P(A) = 1 - P(Ω\A) P(A) 1, da P(Ω\A) 0 gilt.
• P() = 0
  Beweis:
  P(Ω) = 1 P(Ω) = 1 P(Ω) + P() = 1, da Ω = 1 + P() = 1 P() = 0.
• P(Ω\A) = 1 - P(A)
  Beweis:
  P(Ω) = 1 P(Ω\A A) = 1 P(Ω\A) + P(A) = 1 P(Ω\A) = 1 - P(A).
• P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
  Beweis:
  P(AB) = P(A (Ω\A B)) = P(A) + P(Ω\A B) = P(A) + P(Ω\A B) + P(AB) - P(AB) = P(A) + P((Ω\AB)(AB)) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB).
• AB P(A) P(B)
  Beweis:
  A B B = A (BΩ\A) P(B) = P(A) + P(BΩ\A) P(B) P(A).
• P(A) = ∑ P({e_i}), wobei die Summe über alle e_i A genommen wird.
  Beweis:
  Sei A={e₁, ..., e_n}. Dann gilt:
  P(A) = P({e₁} {e₂, ..., e_n}) = P({e₁}) + P({e₂, ..., e_n}).
  Mit dem gleichen Argument erhält man als nächstes:
  P(A) = P({e₁}) + P({e₂}) + P({e₃, ..., e_n}).
  Durch n-maliges Anwenden dieses Rechenschrittes erhält man im Endeffekt:
  P(A) = P({e₁}) + ... + P({e_n}) = ∑ P({e_i}).

Beispiel:

Kommen wir nun noch einmal zu einer ausführlichen Analyse unseres häufigsten Beispiels, des Würfelns.
In diesem Fall haben wir die Ergebnismenge Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Der Ereignisraum ist die Potenzmenge von Ω (d.h. die Menge aller Teilmengen von Ω).
Wie man leicht sieht, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zufallsexperiments "einfacher Münzwurf" gegeben durch: P(A) = |A|/6, wobei |A| die Anzahl der verschiedenen in A enthaltenen Elemente bezeichnet.
Die Wahrscheinlichkeit, eine der Zahlen {1,2,3} zu würfeln, ist halt genau 3/6, also 1/2.

Betrachten wir nun als Zufallsexperiment "zweimaliges Würfeln", so erhalten wir als Ergebnismenge Ω die Menge aller 2-Tupel von Zahlen zwischen 1 und 6 und als Ereignisraum wieder die Potenzmenge von Ω. Als Wahrscheinlichkeitsverteilung erhalten wir P(A) = |A|/36, da diesmal die Wahrscheinlichkeit für jedes Element der Ergebnismenge genau 1/36 beträgt, was wiederum daran liegt, dass es in der Ergebnismenge genau 36 Elemente gibt und jedes dieser Elemente die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt einzutreffen.
Diese Eigenschaft des Experiments bezeichnet man als Gleichverteilung.

Laplace-Experimente:

Von einem Laplace-Experiment spricht man, wenn es sich um ein Zufallsexperiment (mit endlicher Ergebnismenge) handelt, bei dem jedes Ereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintritt. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt in diesem Fall Gleichverteilung.
Laplace-Experimente sind vergleichsweise einfach zu beschreiben. Es gilt nämlich, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gleich der Anzahl der Elemente in A geteilt durch die Anzahl der Elemente von Ω ist: P(A) = |A| / |Ω|.
Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnis aus der Ergebnismenge bezeichnet man dann als p.
Es gilt: P({e}) = p = 1/|Ω| für alle e Ω.

Baumdiagramme:

Wie oben bereits erwähnt, eignen sich Baumdiagramme sehr gut zur Darstellung mehrstufiger Zufallsexperimente.
Widmen wir uns also nochmal dem Zufallsexperiment "dreimaliges Münzwerfen".
Die Ergebnismenge ist wie bekannt Ω = {(KKK),(KKZ),(KZK),(KZZ),(ZKK),(ZKZ),(ZZK),(ZZZ)}, wobei der erste Eintrag eines jede Tupels dem Ergebnis im ersten Wurf, der zweite dem im zweiten Wurf und der dritte dem im dritten Wurf entspricht.
Als Baumdiagramm sieht das nun folgendermaßen aus:

Um mit diesem Baumdiagramm jetzt auch die Wahrscheinlichkeiten ermitteln zu können werden die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Stufen des Experiments in das Diagramm an der entprechenden Stelle eingetragen.


Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich jetzt durch die Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten entlag des Pfades, um zu dem gewünschten Ereignis zu gelangen.