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Wurzelrechnung

Einführung

Bei der Potenzrechnung haben wir Gleichungen der Form an=x betrachtet, wobei a und n gegeben sind und der Potenzwert x gesucht ist. Bei der Wurzelrechnung ist eine Gleichung der Form xn=a gegeben, wobei der Wurzelwert x gesucht ist. x wird mit n-te Wurzel aus a bezeichnet, wobei n der Wurzelexponent und a der Radikand ist:

Man nennt das Wurzelziehen auch Radizieren. Folglich ist das Radizieren die Umkehrung des Potenzierens und das Potenzieren die Umkehrung des Radizierens:

Beachte: Für einen negativen Radikand ist das Radizieren nicht definiert!

Rechengesetze

  • Multiplikation von Wurzeln:
    Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht, wobei der Wurzelexponent beibehalten wird.
  • Division von Wurzeln:
    Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanten bildet, wobei der Wurzelexponent beibehalten wird.
  • Potenzieren von Wurzeln:
    Man kann also erst radizieren und dann potenzieren, oder gleich den Radikand potenzieren und dann radizieren, wobei der Wurzelexponent und der Exponent nicht unbedingt gleich sein müssen.
  • Radizieren von Wurzeln:
    Eine Wurzel wird radiziert, indem die Wurzelexponenten multipliziert werden und der Radikand beibehalten wird.
  • Kürzen und Erweitern des Wurzelexponenten:
    Ist ein Faktor k sowohl im Wurzelexponenten als auch im Exponenten des Radikanden vorhanden, so kann mit dem Faktor k gekürzt werden. Umgekehrt bedeutet der Satz, dass Wurzelexponent und Exponent des Radikanden mit dem Faktor k erweitert werden können.
  • Addition und Subtraktion von Wurzeln:
  • Zwei Wurzeln werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Koeffizienten (k und l) addiert bzw. subtrahiert. Dazu müssen aber die Radikanden (a) und die Wurzelexponenten (n) übereinstimmen.
  • Nenner rational (wurzelfrei) machen:
    1. Quadratwurzel im Nenner:
      Manchmal ist eine Wurzel (reelle Zahl) im Nenner eines Bruchs unerwünscht. Dann kann man durch geeignete Umformungen den Nenner des Bruchs in eine rationale Zahl umwandeln, d.h. wurzelfrei machen.
    2. Höhere Wurzelexponenten im Nenner:
      Hier wird entsprechend mit mehreren Faktoren erweitert, d.h., wenn nun im Nenner eine n-te Wurzel steht, müssen wir mit dieser n-ten Wurzel erweitern, und zwar n-1 mal.
    3. Summe aus Wurzeln im Nenner:
      Um den Nenner eines Bruchs rational zu machen, in dem eine Summe aus Wurzeln steht, erweitert man geeignet, um dann die 3. binomische Formel anwenden zu können.

Bei verschachtelten Aufgaben muss man unter Umständen mehrere Regeln nacheinander anwenden; mehr dazu in den Beispielen.
In welcher Richtung man die Sätze am Besten anwendet hängt natürlich von dem gegebenen Problem ab!

Beispiele

  • Teilweises Radizieren:
  • Term oder Zahl unter die Wurzel bringen:
  • Dividieren von Wurzeln:
  • Wurzeln potenzieren:
  • Wurzeln radizieren:
  • Wurzelexponent kürzen:
  • Multiplizieren von Wurzeln:
  • Addition und Subtraktion von Wurzeln:
  • Nenner rational machen:
    1. Quadratwurzel:
    2. Höherer Wurzelexponent:

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