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Zinseszinsrechnung

Das Problem

Bei der Zinseszinsrechnung werden die Zinsen nach jeder Zinsperiode dem Kapital hinzugefügt und tragen von da an selbst wieder Zinsen. Im Gegensatz dazu gibt es noch die lineare Verzinsung, bei der ein gegebenes Kapital mit einem gewissen Prozentsatz einmalig verzinst wird. Die Zinseszinsrechnung bildet die Grundlage, mit der in Banken und Kreditinstitutionen gerechnet wird. In spezielleren Fragestellungen wird von reiner oder gemischter Zinseszinsrechnung gesprochen.
Als wichtiges Hilfsmittel für die Zinseszinsrechnung wird die Prozentrechnung herangezogen.
Dabei wird oft das Anfangskapital (A), das Endkapital (E), der Zinssatz (i) oder die Laufzeit (n) gesucht.

Die Lösung

Der Zusammenhang der oben genannten Größen ist nun folgender:

Das heißt, dass das Anfangskapital A in n Jahren mit einem Zinssatz i durch exponentielle Verzinsung (Zinseszins) auf das Endkapital E anwächst.

Beispiele

Endkapital gesucht:

  • Ein Anfangskapital von A=1000 EUR wächst bei i=12% und jährlicher Zinsverrechnung in 11 Jahren zu

    an.
  • Ein Anfangskapital von A=1000 EUR wächst bei monatlichem Zinszuschlag von i=1% in 11 Jahren (11*12 = 132 Zinsperioden) auf

    an.

  • Man sieht, dass bei Zinseszinsrechnung sehr schnell ein hohes Endkapital herauskommen kann. Deshalb hier ein berühmtes Beispiel:
  • Hätte man vor 2000 Jahren einen Cent zu i=4% jährlichen Zinsen angelegt, betrüge das Endkapital heute:

Anfangskapital gesucht:

  • Mit welchem heute zahlbaren Betrag kann man eine in 8 Jahren fällige Schuld in Höhe von 50000 EUR ablösen, wenn i=3% gilt und vierteljährlicher Zinszuschlag unterstellt wird, d.h. 8*4 = 32 Zinsperioden. Das Anfangskapital muss

    EUR betragen.

Periodenzinssatz gesucht:

  • Wenn man am 1.1.05 einen Betrag von 40000 EUR auf dem Konto hat und am 1.1.08 einen Betrag von 50000 EUR haben möchte und monatliche Verzinsung unterstellt wird, muss für i (monatlicher Zinssatz) gelten:

Laufzeit gesucht:

  • Wie lange dauert es, bis ein Anfangskapital von 10000 bei einem halbjährigen Zinseszins von 6% auf ein Kapital von 18000 anwächst?

    Es dauert also 10,09 Halbjahre, das heißt also gut 5 Jahre.

Links

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