Das mathematikhistorische Kalenderblatt - Juni 2007

Luitzen Egbertus Jan Brouwer, geboren 1881 in der niederländischen Ortschaft Overschie, entstammte einer intellektuell anspruchsvollen Lehrerfamilie und beendete sein Mathematikstudium 1904 in Amsterdam, wo D. J. Korteweg und G. Mannoury seine wichtigsten Lehrer waren. Schon drei Jahre später artikulierte er in seiner Doktor-Thesis "Over de Grondslagen der Wiskunde¹⁾ " radikaler als alle seine Vorgänger das Unbehagen vieler Mathematiker dieser Zeit über die von Antinomien erschütterte Mengenlehre und die mit ihrer Hilfe hervorgebrachten monsterhaften oder paradox anmutenden Ergebnisse der zeitgenössischen Analysis, Funktionen- und Maßtheorie. Die Bezeichnung "Intuitionismus" allerdings verwendete Brouwer hier noch nicht. Sie erscheint erstmals 1912 in dem Aufsatz "Intuitionism and Formalism", wurde aber auch auf vorangegangene konstruktivistische Tendenzen von L. Kronecker, H. Poincaré und anderen übertragen, während Brouwer seinen eigenen Ansatz selbstbewusst Neo-Intuitionismus nannte.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Nach Brouwers Ansicht beruht Mathematik auf intuitiv einsichtigen und daher keiner logischen Begründung bedürftigen Begriffen wie dem der natürlichen Zahl und der kontinuierlich fließenden Zeit²⁾ und äußert sich in mentalen Konstruktionen im Kopf "idealer Mathematiker". Sie bedarf der Formeln oder überhaupt der Sprache nur, um im Kopfe anderer Mathematiker gleichartige Vorstellungen zu induzieren. Als existent gilt nur, was zumindest in Gedanken "konstruiert" werden kann. Daher sind indirekte Existenzbeweise als ungültig anzusehen, und verschiedene Grundgesetze, vor allem das "Tertium non datur" (A oder nicht A), müssen aus der Logik eliminiert werden. Eine der ersten Arbeiten Brouwers trägt den Titel "Die Unzuverlässigkeit der logischen Prinzipien". Brouwer war eine charismatische und auch jenseits seiner mathematischen Tätigkeit von Skandalen umwehte Persönlichkeit. Er trug seine Ansichten, die nicht von Anfang an völlig konsistent waren und im Lauf der folgenden Jahre manche Modifikation erfuhren, mündlich und schriftlich in geschliffener, aber stets formelfreier und schwer verständlicher Weise vor. Trotzdem konnte er bald eine Schar von Schülern und Anhängern um sich versammeln. Er wurde häufig zu Vorträgen ins Ausland eingeladen und zum Mitglied mehrerer Akademien gewählt. Dazu trug sicher bei, dass er auch eine Reihe von der traditionellen Mathematik anerkannter Resultate im Bereich von Topologie und Funktionentheorie erzielte, darunter den ersten Beweis für die Invarianz der Dimension bei topologischen Abbildungen und den berühmten Brouwerschen Fixpunktsatz.

Unter Brouwers direkten Schülern ragt Arend Heyting (1898 - 1980) hervor, der 1930 den ersten Versuch unternahm, die bis dahin nur verbal beschriebene intuitionistische Aussagenlogik durch einen adäquaten Kalkül zu präzisieren und damit den Weg für die Untersuchung dieses Kalküls und benachbarter Spielarten vom Standpunkt herkömmlicher Logik erschloss. Fast gleichzeitig gaben auch V. Glivenko (1929), A. N. Kolmogorov (1932) und K. Gödel (1933) Interpretationen der intuitionistischen Logik vom traditionellen Standpunkt. Man sieht daran, dass auch sehr prominente Mathematiker und Logiker sich mit dem Intuitionismus auseinandersetzten. Während der "reine" und philosophisch motivierte bzw. untermauerte Intuitionismus stets nur von einer kleinen Sekte akzeptiert und gepflegt wurde, haben seine Kalkülisierungen und verschiedene andere Varianten konstruktiver Mathematik äußerst anregend auf die weitere Entwicklung der mathematikschen Logik gewirkt und eine Fülle von Methoden und Resultaten initiiert. Von den dreißiger Jahren an ging die Rolle des Intuitionismus als produktiver Kritiker traditioneller mengentheoretisch fundierter Mathematik schrittweise auf die sich entwickelnde Rekursionstheorie über. Nach dem 2. Weltkrieg haben die Computertechnik und die von ihr aufgeworfenen Probleme sowie grundlegende Resultate über die Beliebigkeit³⁾ von Auswahlaxiom, Kontinuumhypothese und anderen mengentheoretischen Axiomen die Relativierung der darauf gegründeten Mathematik weiter vorangetrieben. Brouwer, der 1966 starb, hat die Anfänge dieser Entwicklung noch erlebt, sich aber dazu nicht geäußert.

Ausgewählte Literatur

• L. E. J. Brouwer: Collected Works, ed. by A. Heyting., 2 vols. Amsterdam, North-Holland Publishing Comp. 1975.
• Dirk van Dalen: Mystic, Geometer, and Intuitionist: The Life of L. E. J. Brouwer, 2 vols. Oxford, Clarendon Press 1999 (vol. 1), 2005 (vol. 2).
• W. P. van Stigt: Brouwer's Intuitionism. Amsterdam, Northh-Holland Publishing Comp. 1990.
• M. Epple: Did Brouwer's intuitionistic analysis satisfy its own epistemological standards? In: Proof Theory, ed. by V. F. Hendricks et al., Kluwer 2000, 153-178.
• S. C. Kleene, R. E. Vesley: The Foundations of Intuitionistic Mathematics. Amsterdam, North-Holland Publishing Comp. 1965.