Das mathematikhistorische Kalenderblatt - Dezember 2008

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1858: Arthur Cayleys „Theory of Matrices“

Lineare Algebra gehört längst nicht nur zum Beginn jedes Mathematikstudiums sondern sogar zur Ausbildung von Ingenieuren, Naturwissenschaftlern, Betriebswirten,... und wie kaum ein anderer Zweig der Mathematik beruht sie in der Praxis auf zweckmäßigen und fest eingefahrenen Schreibweisen, zu denen auch der Umgang mit Matrizen gehört. Bedenkt man, dass Determinanten heute nur in wenigen Zusammenhängen eine Rolle spielen und man die ganze lineare Algebra auch „determinantenfrei“ aufziehen kann, so ist es eigentlich erstaunlich, dass der Begriff der Determinante bereits 1693 von Leibniz und davon unabhängig 1750 von Gabriel Cramer in die Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme eingeführt wurde, die entsprechenden quadratischen und später auch rechteckigen Koeffizientenschemata aber erst viel später eine davon gelöste selbständige Rolle als (modern gesagt) Datenstrukturen zur Beschreibung linearer Abbildungen bekamen. Nachdem J. J. Sylvester (1814 - 1897) schon 1850 den Begriff „Matrix“ geprägt und der mit ihm eng verbundene Arthur Cayley (1821 – 1895) selbst 1855 erstmals explizit Matrizen zur Beschreibung linearer Transformationen benutzt hatte, legte er in der 1858 erschienenen Arbeit „Theory of Matrices“ systematisch dar, wie sich die Addition, Hintereinanderausführung und Umkehrung von linearen Abbildungen sowie der Übergang zu einem anderen Koordinatensystem in den „Koordinaten dieser Abbildungen“, nämlich den Matrizen, d.h. den Koeffizientenschemata, widerspiegelt, wobei den algebraischen Gesetzen für die Verknüpfung linearer Abbildungen wie Assoziativität und Distributivität gleiche Gesetze für das Operieren mit den Matrizen entsprechen. Damit hatte er u.a. wichtiges Beispielmaterial für die in der Entwicklung begriffene abstrakte Algebra geschaffen. Natürlich hatte er noch nicht den Begriff des dualen Vektorraumes und unterschied dementsprechend noch nicht zwischen Zeilenmatrizen vom Typ (1,n) und Spaltenmatrizen vom Typ (n,1). Statt der heute üblichen runden Klammern schloss er die rechteckigen Koeffizientenschemata in Paare von senkrechten Doppelstrichen ein und bezeichnete die Anwendung einer so dargestellten Abbildung auf einen Koordinatenvektor durch ein hochgestelltes „Dach“

Cayley, ursprünglich Jurist und „Hobbymathematiker“ und erst ab 1863 Inhaber einer Mathematikprofessur in Cambridge, gehört zu den berühmtesten, produktivsten und vielseitigsten Mathematikern aller Zeiten (966 publizierte Arbeiten), aber im Zentrum seiner Interessen stand der Begriff der Invarianten von Abbildungen. So gehören zur Vorgeschichte seiner nur 21 Druckseiten langen Matrizentheorie mehrere „Memoirs on Quantics“ (so bezeichnete er Bilinearformen). In anscheinender Unkenntnis der Arbeit von Cayley hat 1878 der Berliner Mathematiker Georg Ferdinand Frobenius (1849 – 1917) den Matrizenkalkül noch einmal aufgebaut und dabei durch weitere wichtige Begriffe wie den des Ranges angereichert.

Es bleibt zu erwähnen, dass Cayleys Arbeit von 1858 zum ersten Mal den später als Satz von Cayley und Hamilton bezeichneten Satz enthält. Er besagt, dass jede quadratische Matrix A ihre eigene charakteristische Gleichung Det(A – xE) = 0 erfüllt, wenn man diese Gleichung, die eigentlich eine Gleichung für Zahlen ist, in ausgeschriebener Form als Matrizengleichung interpretiert und A für die Variable x einsetzt¹. Allerdings rechnete er dieses Resultat dort nur für Matrizen vom Typ (3,3) explizit vor und es ist unklar, ob er jemals einen allgemeinen Beweis dafür hatte. Einen solchen, auch für Anfänger verständlichen Beweis findet man z.B. in dem Lehrbuch „Lineare Algebra“ von A. Beutelspacher.

¹ Da diese Umdeutung erfahrungsgemäß Verständnisschwierigkeiten bereitet, schreiben wir die Gleichung hier für den Spezialfall des Typs (2,2) auf:

Sei A die (2,2)-Matrix mit den Einträgen a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ und E die Einheitsmatrix vom Typ (2,2). Dann lautet die als Matrizengleichung für A umgeschriebene charakteristische Gleichung
A² - (a₁₁ + a₂₂)A + (det A)E = Nullmatrix. Sie ist daher ein System aus vier
Gleichungen für Zahlen. Transformiert man mittels einer orthogonalen Matrix B vom gleichen Typ wie A die Matrix A in B^-1AB, so ergibt sich aus den Regeln der Matrizenrechnung leicht, dass die transformierte Matrix ebenfalls die charakteristische Gleichung erfüllt. Diese ist also invariant gegenüber orthogonalen Transformationen.