Das mathematikhistorische Kalenderblatt - September 2005

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1855: A. Cayley führt den Matrizenkalkül ein

Der Brite Arthur Cayley (1821 - 1895) gehört ohne Zweifel zu den produktivsten, begabtesten und vielseitigsten Mathematikern des 19. Jahrhunderts. In der Fülle seiner Leistungen nimmt diejenige, deren Jubiläum wir hier auf die Jahreszahl 1855 gründen, einen relativ bescheidenen Platz ein, aber sie gehört zu denjenigen, die man ohne allzu große Kenntnisse der höheren Mathematik verstehen kann. Natürlich hatte auch Cayley, wie es in der Mathematik fast immer geschieht, in dieser Sache einige Vorläufer, vor allem Gotthold Eisenstein (1823 - 1852), dessen Arbeiten über das Rechnen mit den Koeffizienten linearer Substitutionen 1844 bzw. 1852 erschienen. Sein früher Tod verhinderte die weitere Ausreifung seiner Ideen. Wir benutzen die Gelegenheit, sie unter einem Aspekt zu betrachten, den Cayley und Eisenstein selbst bei aller Genialität in ihrer Zeit so noch nicht sehen konnten:

Arthur Cayley		Gotthold Eisenstein

Die Einführung eines Koordinatensystems in der Ebene oder im Raum oder umgekehrt die Beschreibung irgendwelcher Objekte durch n unabhängige geordnete reelle Zahlen, die es ermöglicht, diese Objekte als "Punkte" eines mit einem Koordinatensystem versehenen "n-dimensionalen Raumes" aufzufassen, zielt ursprünglich nur darauf, Punkte durch Koordinaten, d.h. Zahlenlisten (wir würden heute "Daten" sagen), zu beschreiben und Operationen mit Punkten in rechnerische Prozeduren an diesen Zahlenlisten zu übersetzen, ebenso Beziehungen zwischen den Punkten in äquivalente Beziehungen zwischen ihren Koordinaten. Zu derartigen Beziehungen gehört zum Beispiel das Liegen auf einer bestimmten Geraden, Ebene, Kurve, Fläche,... welches sich durch Gleichungen bzw. Gleichungssysteme beschreiben lässt.

Die in diesen Gleichungen vorkommenden Parameter können nun, aber das entsprach noch nicht der Denkweise des 19. Jahrhunderts, ihrerseits als Koordinatengebilde der betreffenden Geraden, Ebene, Kurve,...(kurz Punktmenge) aufgefasst werden (wobei die umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen Objekten und ihren Koordinaten entweder aufgegeben oder durch zusätzliche Bedingungen an die Form der Gleichungen erzwungen werden kann). Die Gleichung bzw. das Gleichungssystem ist dann die Übersetzung der Elementbeziehung zwischen Punkt und Punktmenge in eine äquivalente Beziehung zwischen den Koordinaten des Punktes und den Koordinaten der Punktmenge. Aber die so koordinatisierten Punktmengen sind immer noch Gebilde einer relativ niedrigen Abstraktionsstufe. Im Fall der Ebene bzw. des dreidimensionalen Raumes kann man sie sogar sehen bzw. sichtbar machen. Einer etwas höheren Abstraktionsstufe gehören geometrische Abbildungen an. Wie sie wirken bzw. was sie bewirken, kann man sich zwar veranschaulichen, aber direkt hinzeichnen kann man die Abbildungen selbst im einfachsten Fall schon nicht mehr. Lineare Abbildungen f eines Punkt- bzw. Vektorraumes in denselben oder einen anderen Raum werden nun, wie man für einfache Fälle schon in der Schule lernt, bezüglich zweier Koordinatensysteme im Urbild- und im Bildraum durch lineare Gleichungssysteme beschrieben. Die Koeffizienten dieses Gleichungssystems können ihrerseits als Koordinatengebilde der Abbildung f aufgefasst werden. Während die Koordinaten der Punkte Listen sind, bilden die Koordinaten der Abbildung auf natürliche Weise eine Matrix, d.h. ein rechteckiges Schema von Zahlen. Das Gleichungssystem ist dann die Übersetzung der Beziehung f(x) = y in eine äquivalente Beziehung zwischen den Koordinaten von x, denen von y und denen der Abbildung f. Ziel des Koordinatenprinzips ist es aber, alles was man mit den jeweils studierten Objekten tun kann, in die Sprache der Koordinaten zu übersetzen. Die nächsten Fragen lauten also: Wie hängt bei Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen f,g, die Matrix der resultierenden Abbildung von den Matrizen von f und g ab? Wie hängt die Matrix der Umkehrabbildung von der Matrix der Abbildung ab? Die wunderbaren Antworten auf diese Fragen, die den Gegenstand jeder Einführung in die lineare Algebra bilden, wurden 1855 von Cayley gefunden und publiziert.

Alle nur denkbaren Objekte und Prozesse durch "Datenstrukturen" zu beschreiben und damit das, was sich eigentlich in einer mehr oder weniger realen Welt abspielt, in eine für den Computer fassbare Sprache zu übersetzen, von ihm simulieren, nachspielen zu lassen, ist heute mehr denn je eine der tragenden Säulen der Mathematik, ja der Wissenschaft schlechthin. Arthur Cayley hat also mit seinem Matrizenkalkül eine Tür aufgestoßen, von der er selbst kaum sehen konnte, was dahinter liegt.

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