Das mathematikhistorische Kalenderblatt - April 2005

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Eulers Lehrbuch der Differentialrechnung 1755

Leonhard Euler

Leonhard Euler (1707 – 1783), der führende Mathematiker des 18. Jahrhunderts, lebte und arbeitete von 1741 bis 1766 in Berlin als Mitglied der gerade von Friedrich II. reorganisierten brandenburg-preußischen Akademie.

Auch in dieser Zeit wurde ein beträchtlicher Teil seiner reichen Produktion auf Kosten der Petersburger Akademie, deren auswärtiges Mitglied er weiterhin war, und in Petersburg gedruckt, darunter 1755 das Lehrbuch Institutiones calculi differemntialis.

Titelblatt

Dieses im Original lateinische zweibändige Werk bildet den Mittelteil einer Trilogie von Lehrwerken Leonhard Eulers zur Analysis. Voraus ging die zweibändige Introductio in analysin infinitorum (1748), erst 1768 folgte die sogar vierbändige Integralrechnung. Dabei ist aber zu berücksichtigen, dass die Erscheinungstermine jeweils um Jahre später als die Fertigstellungen der Manuskripte lagen, außerdem die Reihenfolge des Erscheinens nicht identisch mit der Reihenfolge der Entstehung ist. Euler selbst schrieb am 4. Juli 1744 an den Amateurmathematiker Christian Goldbach: „Ich habe inzwischen ein neues Werk...unter dem Titel „Introductio ad Analysin infinitorum“,...wovon fast nichts anderswo anzutreffen. Nachdem ich mir einen Plan von einem vollständigen Traktat über die Analysis infinitorum formiert hatte, so habe ich bemerkt, daß sehr viele Sachen, welche eigentlich dazu nicht gehören und nirgend abgehandelt gefunden werden, vorher gehen müßten.“ Während die Analysis von ihren Begründern Leibniz und Newton über die Bernoullis bis zu Eulers Lehrbüchern stets als Hilfsmittel für naturwissenschaftliche oder technische Aufgaben und in deren Termini und Denkweisen erschienen war, stellten Eulers Bücher erstmals eine „reine“, von den Anwendungen gelöste Analysis dar. Die Introductio führte den Eulerschen Funktionsbegriff ein und behandelte im wesentlichen das Vorfeld der Analysis, also Rechnen mit Polynomen, trigonometrische Funktionen, Logarithmus und Exponentialfunktion u.ä., im zweiten Band aber die ebene Koordinatengeometrie mit nur einem kleinen Anhang über den räumlichen Fall.

Auch die hier zu besprechende Differentialrechnung beginnt auf heute unübliche Weise mit der fast ganz aus modernen Analysiskursen verschwundenen Differenzenrechnung. Im weiteren gibt es keinen klaren Grenzwertbegriff, kein epsilon und delta. Vielmehr erscheint die gesamte Differentialrechnung als eine Ausdehnung der Algebra auf Formeln, die dx, dy usw. als Bezeichnungen für kleine Zuwächse der betreffenden Variablen sowie zum Teil Summen mit unendlich vielen Summanden enthalten, wobei hinreichend kleine Größen „im richtigen Moment“ vernachlässigt werden. Diese „Algebraisierung“ bzw. auf Formelmanipulation reduzierte Analysis spiegelt sich auch darin wider, dass das gesamte Buch, fremdartig für uns, nicht eine einzige Abbildung enthält. Der weitere Inhalt beschäftigt sich u.a. mit Funktionen mehrerer Variablen, Ableitungen höherer Ordnung, mit der Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen, mit der Lösung von Extremalaufgaben, mit Differentialgleichungen und mit der Differentiation impliziter Funktionen. Euler schreibt noch häufig xx statt x². Er führt hier (§ 26) erstmals das Summenzeichen ein, verwendet es aber wenig und anders als heute, insbesondere nicht in der uns geläufigen Kombination mit von einem Summationsendex abhängigem „allgemeinem Glied“, sondern schreibt z.B.

S = 1 – 4 + 9 – 16 + 25 – 36 + etc.

„Etc.“ (= et cetera, usw.) tritt in Eulers Formeln so häufig auf, dass man geradezu von einer „etc-Analysis“ sprechen könnte. Es ist also ziemlich irreführend, wenn Jean Dieudonné schreibt: „Seit Euler sind die Bezeichnungen in der Analysis fast mit jenen identisch, die wir heute benutzen, und auch der Sprachgebrauch ist dem unsrigen sehr ähnlich.“ Sieht man aber von der aus heutiger Sicht unzulänglichen Fundierung, dem sorglosen Umgang mit unendlichen Reihen und den noch ungelenken Schreibweisen ab, so sind Eulers allgemeine Ausführungen und auch seine Beispiele zum großen Teil nicht trivial, eher oberhalb eines heutigen Anfängerniveaus. Bis in die zwanziger Jahre des 19. Jahrhunderts hat Europa aus diesen Büchern, die bald auch ins Französische und Deutsche übersetzt wurden, Analysis gelernt. Dann erst traten modernere Lehrbücher von Cauchy, Lacroix, Monge u.a. an ihre Stelle.

(Das Original des obigen Bildes von Euler befindet sich im Deutschen Museum in München.)

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