Das mathematikhistorische Kalenderblatt - April 2011

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1911: Der mathematische Dimensionsbegriff

Im Laufe des 19. Jahrhunderts hatte sich Schritt für Schritt der Begriff des n-dimensionalen Raumes durchgesetzt. Ein Raum, d.h. eigentlich: eine Menge, war nach damaliger Auffassung n-dimensional, wenn sich seine Elemente mittels n reeller Zahlen, aber nicht mittels einer kleineren Anzahl von „Parametern” oder „Koordinaten” beschreiben lassen. Dafür hatte man viele Beispiele, z.B. mechanische Systeme, deren momentaner Zustand durch n reelle Größen eindeutig beschreibbar ist. Alle Beispiele deuteten zunächst darauf hin, dass diese Dimensionszahl unabhängig von der zufälligen Wahl eines Systems von Daten zur Beschreibung der Elemente eines Raumes ist.

Diese naive Auffassung vom Dimensionsbegriff wurde gegen Ende des 19. Jahrhunderts durch Gegenbeispiele erschüttert: Georg Cantor (1845 – 1918) bildete 1877 das Einheitsintervall eineindeutig (allerdings nicht stetig) auf eine Dreiecksfläche ab. Das kann man auch so interpretieren, dass es für die Punkte der anscheinend zweidimensionalen Fläche genügt, jeweils eine reelle Zahl zur Kennzeichnung ihrer Lage anzugeben. Giuseppe Peano (1858 – 1932) schlug 1890 eine Modifikation der Idee Cantors vor, nach der man eine stetige (dann allerdings nicht eineindeutige) Abbildung eines Parameterintervalls auf eine Dreiecksfläche oder ein Quadrat finden kann (siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Kurve).

Inzwischen hatte sich der Begriff der topologischen Abbildung als Kombination der Eigenschaften eineindeutig und in beiden Richtungen stetig herausgebildet. Die Mathematiker waren überzeugt, dass diese Abbildungen in den anschaulich zugänglichen zwei- und dreidimensionalen Fällen genau das leisten, was man mit Strecken, Stauchen, Verbiegen und Verzerren ohne Zerreißen oder Kleben umschreiben kann. Die offenen Probleme lauteten nun:

eine von der Idee der „Parametrisierung” mittels n reeller Daten unabhängige und bei topologischen Abbildungen invariante Dimension von Räumen definieren,
beweisen, dass die Dimension eines Raumes bei topologischen Abbildungen eines Raumes auf sich bzw. auf einen anderen Raum erhalten bleibt.

Für beide Probleme wurden im Jahre 1911 Teillösungen gefunden: In diesem Jahr bewies der niederländische Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881 – 1966) die Unmöglichkeit, für n ≠ m ein n-dimensionales Simplex auf ein m-dimensionales Simplex topologisch abzubilden. Dabei ist ein m-dimensionales Simplex als sozusagen einfachste m-dimensionale Menge im m-dimensionalen reellen Zahlenraum R^m die konvexe Hülle ihrer m+1 Eckpunkte P₀,P₁,…,P_m, wobei die Vektoren P₀P₁,…,P₀P_m linear unabhängig sind. Kompliziertere Teilmengen der Räume Rⁿ kann man durch Vereinigungen von simplizialen Mengen approximieren, andererseits endlichdimensionale metrische Räume isometrisch in Räume Rⁿ einbetten, so dass das Resultat von Brouwer das Problem B wenigstens für endlichdimensionale metrische Räume löste, was für die Bedürfnisse der höheren Analysis aber schon damals nicht ausreichte.


L. E. J. Brouwer	Henri Lebesgue

Im gleichen Jahr schlug der französische Mathematiker Henri Lebesgue (1875 – 1941) auf Grund einer intuitiven Beobachtung vor, einen Raum dann als n-dimensional zu bezeichnen, wenn es bei jeder hinreichend feinen Überdeckung dieses Raumes durch offene Mengen Punkte gibt, die n+1 Mengen des überdeckenden Mengensystems angehören. Diese Erklärung kann man zumindest im zwei- und dreidimensionalen Fall anschaulich sehr gut nachvollziehen und sie ist für eine große Klasse von topologischen Räumen verallgemeinerbar.

Brouwer kritisierte jedoch öffentlich, dass Lebesgue die Invarianz seines Dimensionsbegriffs bei topologischen Abbildungen nicht bewiesen hatte. Ein Jahr später, 1912, kam Henri Poincaré (1854 – 1912) nochmals auf die Idee einer induktiven Dimensionsdefinition zurück, die er schon 1903 erwogen hatte: Ein Raum ist eindimensional, wenn die Randmengen seiner Umgebungen nulldimensional sind, und n+1-dimensional, wenn seine Umgebungen einen n-dimensionalen Rand besitzen. Es schlossen sich viele weitere Untersuchungen und Verallgemeinerungen an. Sie sind u.a. mit den Namen Felix Hausdorff, Karl Menger und Pawel S. Urysohn verbunden, und die Dimensionstheorie als eigener Zweig der Topologie hat bis heute offene Fragen zu bieten.