Das mathematikhistorische Kalenderblatt - Oktober 2006

Ein Außenseiter publiziert die geometrische Deutung der komplexen Zahlen

Bei diesem Außenseiter, über dessen persönliches Leben sehr wenig bekannt ist, handelt es sich um den Pariser Buchhändler Jean Robert Argand. Er wurde 1768 in Genf geboren und starb 1822 in Paris. Offenbar war er verheiratet und besaß einen Sohn und eine Tochter. Über eventuelle persönliche Kontakte zu bekannten Mathematikern seiner Zeit oder Teilnahme am wissenschaftlichen Leben in Paris weiß man nur die im Folgenden erwähnten Details.

Seine Abhandlung Essay sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques erschien 1806 sogar zunächst anonym als Privatdruck. Dass Argand der Verfasser war, erfuhr man erst 1813, als J. F. Français, ein Professor der kaiserlichen Artillerieschule in Paris, eine Schrift zum gleichen Thema in den Annales de mathématiques veröffentlichte und darin die Verdienste seines Vorläufers Argand hervorhob. Es stellte sich heraus, dass Argand seine Arbeit vor dem Druck einem der berühmtesten Mathematiker dieser Zeit, nämlich A. M. Legendre gezeigt, dieser es brieflich einem Bruder von Français mitgeteilt und Français diesen Brief nach dem Tode des Bruders gefunden hatte. Ermutigt durch das Lob, publizierte nun auch Argand selbst noch einige Arbeiten in den Annales. Bis auf eine, die einem kombinatorischen Problem galt, waren sie dem weiteren Ausbau der komplexen Arithmetik und Algebra bzw. der Auseinandersetzung mit Einwänden gewidmet.


W. R. Hamilton	A. M. Legendre

Nun weiß man heute, dass auch Argand mindestens zwei Vorgänger hatte, eine Arbeit von A. Q. Buée 1805, die aber erst nach der von Argand wirklich erschien, und eine, die ihm kaum bekannt sein konnte, von dem norwegischen Landmesser Caspar Wessel, dessen geometrische Deutung der komplexen Zahlen schon 1797 in der Dänischen Akademie der Wissenschaften vorgetragen, 1798 gedruckt und nochmals 1799 in den Berichten der Dänischen Akademie publiziert wurde. Wessels Arbeit blieb jedoch völlig wirkungslos, zumal sie in Dänisch verfasst war.

Die Annales jedoch gehörten Anfang des 19. Jahrhunderts zu den wenigen international bekannten und bedeutenden mathematischen Fachzeitschriften, und Französisch konnte damals jeder Gebildete. Zu den berühmten Mathematikern, die sich nach 1813 auf Argand bezogen und seine Priorität anerkannten, gehörten A. L. Cauchy in Frankreich und W. R. Hamilton in Großbritannien. Hingegen hat C. F. Gauß nie erkennen lassen, ob er diese Arbeiten kannte. Seine ersten öffentlichen Äußerungen über die geometrische Deutung der komplexen Zahlen sind in der 1831 erschienenen Selbstanzeige seiner zahlentheoretischen Arbeit über biquadratische Reste und dann 1832 in dieser Arbeit enthalten. Als 1856 (auch ein Jubiläum!) die erste Biographie von Gauß (Gauß zum Gedenken) von Sartorius von Waltershausen erschien, wurde darin kräftig die Werbetrommel auch für die Verdienste von Gauß um die komplexen Zahlen gerührt. Seitdem spricht man international von der Gaußschen Zahlenebene.

Dass Argand im deutschsprachigen Raum lange so gar nicht zur Kenntnis genommen wurde, hängt sicher mit der Verehrung für Gauß, aber vermutlich auch mit der franzosenfeindlichen Stimmung nach den Napoleonischen Kriegen zusammen. In dem kuriosen Gedenktagebuch für Mathematiker, das der Teubner-Verlag erstmals 1904 den Teilnehmern des Internationalen Mathematikerkongresses in Heidelberg schenkte, ist Argand allerdings mit Geburts- und Sterbedatum als Darsteller des Imaginären erwähnt.


A. L. Cauchy	C. F. Gauß

Ganz verdrängt aus dem öffentlichen Bewusstsein ist durch die viele Literatur um Gauß vor allem, dass Argand auf der Basis seiner geometrischen Deutung der komplexen Zahlen, die im Wesentlichen die heutige ist und z.B. auch die Beziehung zum Kreisteilungsproblem herstellt, unabhängig von Gauß das entscheidende Argument für die Gültigkeit des "Fundamentalsatzes der Algebra¹⁾ vortrug: Dass man nämlich für den Fall, dass der Betrag des Wertes eines komplexen Polynoms f an einer Stelle z größer als Null ist, den Zuwachs dz von z stets so steuern kann, dass der Betrag von f(z+dz) kleiner als der Betrag von f(z) ist.

Auch dies findet sich freilich schon früher bei d'Alembert, nach dem das Lemma heute meist benannt wird. Bei Argand ist es jedoch viel mehr als bei d'Alembert von der geometrischen Interpretation des Komplexen getragen und zeigt auch, wie weit hinaus über Wessel, der ein ganz anderes Anliegen verfolgte, Argand in die Handhabung des Komplexen eingedrungen war. Was für einen heute akzeptierten Beweis noch fehlt, dass nämlich der Betrag von f irgendwo einen absoluten Minimalwert annehmen muss, (dieser aber auf Grund des d'Alembertschen Lemmas nicht größer als Null sein kann,) beruht auf im Grunde topologischen Voraussetzungen über die Struktur der reellen Zahlen bzw. der komplexen Ebene und ist außerdem eine reine Existenzaussage, die im Gegensatz zur Beweismethode für das Lemma von d'Alembert und Argand nichts zur tatsächlichen Berechnung der Nullstellen beiträgt.

Eine so kritische und subtile Durchleuchtung anschaulich klarer Sachverhalte konnte man vor dem Ende des 19. Jahrhunderts kaum erwarten. Hingegen betrachtete Argand als Erster den Fundamentalsatz ausdrücklich auch für den Fall, dass nicht nur die Nullstellen sondern auch die Koeffizienten des Polynoms komplexe Zahlen sein dürfen. Argands Hauptwerk wurde 1874 in Paris und 1881 in amerikanischer Übersetzung nachgedruckt. Wessels Abhandlung erschien dänisch wieder 1896, 1897 in Kopenhagen, nicht ohne Absicht in französischer Übersetzung, und amerikanisch in D. E. Smiths Source Book in Mathematics von 1929.

1) Er besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom wenigstens im Bereich der komplexen Zahlen eine Nullstelle besitzt und folglich über dem Körper der komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerfällt.