Das mathematikhistorische Kalenderblatt - Oktober 2007

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830), Sohn eines Schneiders und Waise seit seinem 9. Lebensjahr, durchlebte eine turbulente Epoche der Geschichte Frankreichs: die Revolution von 1789 mit all ihren Folgen, die Herrschaft Napoleons und die Restauration der bourbonischen Monarchie. 1794 unter Robespierre entging er knapp der Hinrichtung, weil er sich gegen brutalen Terror engagiert hatte. Als 1795 die berühmte Ecole Polytechnique eröffnet wurde, war er als Assistent von Lagrange und Monge dabei. Er nahm am Ägypten-Feldzug Napoleons teil und war später maßgeblich an der Publikation der wissenschaftlichen Ergebnisse dieser (im militärischen wie ägyptologischen Sinne) "Expedition" beteiligt. Unter Napoleon wurde er danach Präfekt des Departments Isère im Südosten Frankreichs (Hauptstadt Grenoble) und leitete dabei den Bau der noch heute wichtigen Fernstraße Grenoble-Turin. Nach Napoleons Rückkehr von Elba für 100 Tage ernannte dieser ihn zum Grafen und Präfekten des Departments Rhone. Wegen dieser Nähe zu Napoleon wurde Fouriers Wahl in die Pariser Akademie 1816 von König Ludwig XVIII. zunächst abgelehnt, aber ein Jahr später akzeptiert und ab 1822 hatte er sogar den sehr einflussreichen Posten des ständigen Sekretärs der Akademie inne.

Wenn Fourier 1807 der Akademie seine Abhandlung über die Wärmeleitung und die Lösung der von ihm dafür aufgestellten Gleichungen einreichte, muss man das heute unter dem Aspekt betrachten, dass dies einerseits der erste gewichtige Versuch war, Analysis auf ein Gebiet der Physik außerhalb der Mechanik anzuwenden, dass andererseits die Ansichten über das Wesen der Wärme noch in den letzten Jahrzehnten des 18. Jahrhunderts weit auseinander gingen. Benjamin Thompson (besser als Graf Rumford bekannt) hatte erst 1799 seine Nachweise veröffentlicht, dass es den bis dahin vermuteten wägbaren "Wärmestoff" nicht gibt und Wärme vermutlich nichts anderes als Bewegung kleinster Teilchen ist. Fourier beschrieb nun die lokale Bilanz des Wärmeflusses durch die heute wohlbekannten linearen partiellen Differentialgleichungen (für den ein- bis dreidimensionalen Fall) und gab für eine beliebig vorgegebene Anfangsverteilung f der Wärme die Lösung in Form einer trigonometrischen Reihe an. Dabei trat wie schon bei der sehr ähnlichen Lösung der Gleichung der schwingenden Saite die Frage in den Vordergrund, für welche Funktionen f eine Entwicklung in eine trigonometrische Reihe möglich ist und wie die Koeffizienten dieser Reihe aus der gegebenen Funktion f zu bestimmen sind. Lagrange, der sich 1759 im Zusammenhang mit der schwingenden Saite mit dieser Frage beschäftigt hatte, verhinderte durch sein Gutachten zunächst die Publikation der Arbeit, da ihm Fouriers Vorgehen (aus heutiger Sicht ist es schlicht lineare Algebra im Raum L₂) allzu ungesichert erschien. Eine revidierte Fassung gewann aber 1810 ein Preisausschreiben der Akademie und ging schließlich als Teil in Fouriers 1822 erschienenes Buch "Théorie analytique de la chaleur" ein.
Die von Fourier "erfundene" Methode, die Koeffizienten der Entwicklung einer Funktion f in eine trigonometrische Reihe zu bestimmen, beruht auf der Berechnung der bestimmten Integrale von f(x)cos(nx) bzw. f(x)sin(nx) im betrachteten Intervall. Für welche Funktionen dies möglich ist, hängt natürlich vom zugrundeliegenden Integralbegriff ab. Bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts war die Integration nur als Umkehrung der Differentiation definiert und die Bestimmung von Inhalten mittels Integralen lediglich als Anwendung dieses Kalküls aufgefasst worden. Fouriers Betrachtungen legten es erstmals nahe, umgekehrt Integrale durch Inhaltsmessung und dadurch über den Bereich der analytischen Funktionen hinaus zu definieren. Ganz nebenbei hat Fourier hierbei die uns heute geläufige Schreibweise für bestimmte Integrale erfunden. Genau im Jahr 1822, dem Jahr des Erscheinens der Wärmelehre von Fourier, begann P. G. Lejeune Dirichlet seine mathematischen Studien in Paris, wo Fourier sein wichtigster Lehrer wurde. Dirichlet brachte die neuen Ideen nach Deutschland und gab sie u.a. an seinen Studenten B. Riemann weiter, dessen 1853 eingereichte (aber erst 1868 publizierte) Habilitationsschrift "Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch trigonometrische Funktionen" u. a. die Definition des "Riemannschen" Integrals enthält. Die eigentliche Entwicklung der modernen Maß- und Integrationstheorie beginnt erst hier, aber ausgelöst wurde sie ebenso wie die Anwendung unendlichdimensionaler linearer Algebra in der Analysis durch Fourier.

Literaturempfehlungen:

• I. Grattan-Guinness, J. R. Ravetz: Joseph Fourier 1768-1830. MIT Press, Cambridge Mass. 1972
• H.N. Jahnke (Hrsg.): Geschichte der Analysis, Spektrum Akadem. Verlag, Heidelberg-Berlin 1999, Kap. 7.1.2
• K. Simonyi: Kulturgeschichte der Physik, Urania-Verlag Leipzig-Jena-Berlin 1990, Kap. 4.5

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Artikel vom 20.11.2007