Das mathematikhistorische Kalenderblatt - Januar 2010

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1810: C. F. Gauß publiziert den „Gaußschen Algorithmus“ zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Die systematische schrittweise Umformung linearer Gleichungssysteme in die Dreiecks- bzw. Diagonalform, die im allgemeinsten Fall vollständige Auskunft über die Lösbarkeit und im Fall der Lösbarkeit die allgemeine Lösung ergibt, gehört heute zur mathematischen Grundbildung jedes Naturwissenschaftlers und Ingenieurs.

Obwohl sie in zeittypischer Form schon im 2. Jh. v. Chr. in China ^[1] (damals natürlich nur für den Fall kleiner regulärer quadratischer Koeffizientenmatrizen) beschrieben wurde, beruht ihre neuzeitliche Geschichte auf einer astronomischen Publikation von Gauß, nämlich seiner Abhandlung vom Jahre 1810 über die Bahnstörungen des 1802 entdeckten Planetoiden Pallas. Ein Jahr zuvor hatte Gauß in einem seiner Hauptwerke „Theoria motus corporum coelestium in sectionibus coniis solem ambientum ^[2]“ erstmals die Methode der kleinsten Quadrate angewendet, um die Bahnparameter des Planetoiden Ceres aus einer kleinen Anzahl fehlerbehafteter Beobachtungen mit möglichster Genauigkeit zu bestimmen, eine Leistung, die die Wiederauffindung dieses Kleinplaneten an der vorausgesagten Stelle ermöglichte und Gauß neben europa-weitem Ruhm letztlich seine Lebensstellung als Professor für Astronomie und Direktor der neu errichteten Sternwarte in Göttingen einbrachte.

Nun, ein Jahr später, enthüllte er, sozusagen beiläufig, auch seine Methode, das System der linearen Normalgleichungen, auf die das Problem der kleinsten Fehlerquadratsumme führt, zu lösen.

Wie groß der Fortschritt in der Behandlung linearer Gleichungssysteme durch die systematische Umformung nach Gauß war, mag man daran ermessen, dass Leonhard Euler noch 1770 in seiner berühmten Vollständigen Anleitung zur Algebra zu dieser Aufgabe - nachdem er die Fälle einer bis dreier Unbekannter und jeweils gleicher Zahl von Gleichungen einzeln und umständlich vorgerechnet hatte - schrieb:
Sollten mehr als drei unbekannte Zahlen, und eben so viel Gleichungen vorkommen, so könnte man die Auflösung auf eine ähnliche Art anstellen, welches gemeiniglich auf verdriessliche Rechnungen leiten würde. Es pflegen sich aber bei einem jeglichen Fall solche Mittel zu äussern, wodurch die Auflösung ungemein erleichtert wird, und solches geschieht, indem man ausser den Hauptunbekannten Zahlen noch eine neue willkürliche als z[um] E[xempel] die Summe aller in die Rechnung einführet, welches von einem, der sich in dergleichen Rechnungen schon ziemlich geübet hat, in einem jeglichen Fall leicht beurtheilet wird. (a.a.O., 2.Teil, 1. Abschnitt, Kap. 2-4 ^[3].)

Man mag sich heute wundern, dass zwei so fundamentale rein mathematische Leistungen wie die Methode der kleinsten Quadrate und der Gaußsche Algorithmus nicht als selbständige Publikationen, sondern sozusagen als Nebenprodukte in astronomischen Arbeiten erschienen sind. Erklärt wird dies in gewissem Maße dadurch, dass reine Mathematik noch zu Beginn des 19. Jahrhunderts nicht nur in den Augen der Öffentlichkeit, sondern sogar in der Meinung der Mathematiker selbst eine relativ nutzlose Sache war, der man allenfalls als Hobby neben einer ernsthaften naturwissenschaftlichen oder sonstigen akademischen Tätigkeit nachging. So schrieb Gauß 1801, nachdem der Herzog von Braunschweig ihm auf Grund des großartigen zahlentheoretischen Werkes „Disquisitiones arithmeticae“ das Stipendium erhöht hatte, an seinen ehemaligen Lehrer und Förderer E. A. W. Zimmermann ^[4]: „Aber ich habe es nicht verdient. Ich habe noch nichts für die Nation getan.“

Gauß selbst hatte schon bald bemerkt, dass sein Eliminationsverfahren bei großen Gleichungssystemen mit unrunden und teilweise unsicheren Koeffizienten recht ungenaue Lösungen liefert. Sein Hauptnutzen besteht ja auch heute im vollständigen Einblick in die Lösungsbedingungen und die Struktur der Lösungsmenge. 1823 beschrieb Gauß in einem Brief an den befreundeten C. L. Gerling erstmals das selbstkorrigierende iterative Lösungsverfahren, das heute als Gauß-Seidel-Verfahren, in der englischsprachigen Literatur aber meist als Gauß-Southwell algorithm ^[5], bezeichnet wird. Interessant ist der Titel der entsprechenden Publikation von P. L. von Seidel ^[6]: Über ein Verfahren, die Gleichungen, auf welche die Methode der kleinsten Quadrate führt, sowie lineäre Gleichungen überhaupt zu lösen. (1874). Er zeigt, dass 1874 das ursprüngliche Gaußsche Motiv, sich mit linearen Gleichungssystemen zu beschäftigen, immer noch dominant war.

Ob es nun die zumindest für Mathematiker relativ schwer zugängliche lateinische Publikation von Gauß 1810 oder das vom Standpunkt des praktischen Rechnens oft unbefriedigende Resultat war, der Gaußsche Algorithmus hat sich in der mathematischen Lehrbuchliteratur erstaunlich langsam und spät durchgesetzt und auch das uns heute so geläufige Wort Algorithmus tauchte nach seiner ursprünglichen Verwendung in den Rechenbüchern des Mittelalters und der Renaissance erst nach 1945, dann aber sozusagen explosionsartig, in der internationalen mathematischen Literatur wieder auf.

Literatur/Bemerkungen:

^[1] Neun Bücher arithmetischer Technik, übersetzt und erläutert von Kurt Vogel, Braunschweig 1968. Es handelt sich dort um Buch VIII.
^[2] D.h. Theorie der Bewegung der Himmelskörper , die die Sonne in Kegelschnitt[förmig]en [Bahnen] umlaufen.
^[3] Wir zitieren hier nach dem St. Petersburger Original 1770. In späteren deutschen Ausgaben, z.B. Reclam, Leipzig, ist die Sprache meist mehr oder weniger modernisiert.
^[4] Prof. am Collegium Carolinum in Braunschweig u. Berater des Herzogs
^[5] Richard Lynne Southwell (1888 – 1970) ist in der mathematischen bzw. mathematikhistorischen
Literatur nicht leicht aufzuspüren. Der Oxforder Professor für „engineering“ soll das Gauß-Seidel-Verfahren ohne Kenntnis seiner Vorgänger ab 1933 in Vorlesungen gelehrt und 1040 in dem Buch Relaxation methods in engineering publiziert haben.
^[6] Seidel (1821 – 1896) war Prof. in München und hat sich hauptsächlich mit Astronomie und Optik beschäftigt. Auch in seinem Fall ist unklar, ob ihm die Vorgängerschaft von Gauß bekannt geworden ist.