Das mathematikhistorische Kalenderblatt - Februar 2006

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Geometrisierung der Analysis

Der Inhalt des Wortes Geometrie hat sich im Laufe von Jahrtausenden mehrfach verändert. Bedeutete es anfangs die Kunst der Messung auf der Erdoberfläche, so nahm es schon in der Blütezeit der antiken Geometrie etwa die Bedeutung an, die es in der Schule heute noch hat, wobei die Griechen aber mit Geometrie nur die Theorie der euklidischen Ebene bezeichneten, während die damals wenig entwickelte räumliche Geometrie Stereometrie hieß.

Als im 17. Jh. die Differential-und Integralrechnung erfunden wurde, waren sie anfangs nichts anderes als neue Werkzeuge der so verstandenen Geo-und Stereometrie. Im 19. Jh. begann sich mit den Untersuchungen über die innere Geometrie gekrümmter Flächen, der Anerkennung des n-dimensionalen euklidischen Raumes als möglicher Gegenstand von Geometrie und den Untersuchungen zur nichteuklidischen (Lobatschewski-Bolyai)-Geometrie die Bedeutung des Wortes Geometrie zu gabeln: Einerseits bedeutete es nun die Untersuchung eines unter vielen möglichen "Räumen" oder einer Familie solcher Räume als Ganzes, andererseits nach wie vor die Untersuchung spezieller Objekte bzw. Probleme in einem solchen "Raum". Als Maurice Fréchet (1878-1973) 1906 seine Doktor-Thesis publizierte, läutete dies den Beginn eines neuen Verhälnisses zwischen Analysis und Geometrie ein:

Maurice Fréchet

Analysis war nicht länger nur ein Hilfsmittel der Geometrie, Geometrie wurde zu einer methodisch überaus fruchtbaren Betrachtungsweise in der Analysis. In dieser Arbeit führte Fréchet aus der anschaulichen Geometrie entnommene Begriffe wie den des Abstandes¹⁾ oder den der Umgebung eines Punktes als Grundbegriffe abstrakter Strukturen ein (d.h. "Punkte" konnten nun beliebige Dinge sein und bildeten einen "Raum" in Bezug auf die zwischen ihnen definierten pseudogeometrischen Beziehungen) und wendete so die geometrische Vorstellungskraft und die Grundeigenschaften dieser Begriffe auf Objekte der höheren Analysis an, gleichzeitig damit den Bereich möglicher geometrischer "Räume" wesentlich erweiternd. Als Fréchet 1934 zum Mitglied der französischen Akademie gewählt wurde, sagte sein Doktorvater Jacques Hadamard (1865-1963) in seiner Begründung, Fréchet habe diesen Schritt ähnlich wie Galois ohne Vorgänger getan. Dagegen gibt es allerdings einen Einwand. Hermann Günther Graßmann (1809-1877) hatte schon in seiner 1844 erschienenen "linealen Ausdehnungslehre" beliebige Objekte, welche durch n unabhängige Parameter charakterisiert werden können, als Elemente seiner n-dimensionalen Räume zugelassen, und Julius Plücker (1801-1868) hatte in einer 1868 publizierten Arbeit zum Beispiel die Geraden des euklidischen Raumes, da sie bezüglich eines Koordinatensystems durch vier unabhängige Parameter beschrieben werden können, zu "Punkten" eines vierdimensionalen und keineswegs euklidischen Raumes uminterpretiert.

Ob Fréchet freilich diese Arbeiten gekannt hat, ist ungewiss. Beeinflusst war er vielmehr von den Arbeiten seiner französischen Kollegen Emile Borel (1871-1956), Henri Lebesgue (1875-1941) und René Baire (1874-1932) zur Theorie der reellen Funktionen. Indem er den Abstandsbegriff und die sich daraus ergebenden Begriffe Umgebung, konvergente Folge, metrische Vollständigkeit (d.h. jede Fundamentalfolge konvergiert), Separabilität (d.h. Existenz einer überall dichten abzählbaren Teilmenge analog zur Lage der rationalen zwischen den reellen Zahlen) Kompaktheit usw. auf Mengen von Funktionen anwendete, wurde er zum eigentlichen Begründer der Funktionalanalysis. Gleichzeitig enthält seine Arbeit auch schon Anfänge der mengentheoretischen Topologie, da er nicht überall voraussetzt, dass der Umgebungsbegriff mittels eines Abstandes definiert wird.

Erhard Schmidt

Etwa zur gleichen Zeit (verteidigt 1905, publiziert 1907) hat Erhard Schmidt in seiner Doktorarbeit einen zweiten Weg zur Geometrisierung der Analysis eröffnet, indem er enthüllte, dass die Methoden von Ivar Fredholm (1866-1927) und David Hilbert (1862-1943) zur Lösung bestimmer Arten von Integralgleichungen im Grunde darauf beruhen, den beteiligten Funktionenmengen die Struktur eines unendlichdimensionalen Vektorraumes aufzuprägen. Nachdem er Fréchets Arbeit zur Kenntnis genommen hatte, publizierte Schmidt 1908, bemerkenswerterweise im gleichen Journal wie Fréchets Thesis, eine weitere Arbeit zu diesem Thema, in der die geometrische bzw. vektoralgebraische Natur der Funktionalanalysis noch deutlicher herausgestellt wurde.

1928 stellte Fréchet seine inzwischen weiter gereiften und ausgebauten Ideen in einem Buch dar. Später wendete er sich anderen Themen zu. Seither gehört das Aufspüren und Ausnutzen von "pseudogeometrischen" Strukturen und Denkweisen nicht nur in der Analysis sondern auch in vielen anderen Zweigen der Mathematik zu den grundlegenden Arbeitstechniken.

Literatur:

M. Fréchet 1906: Sur quelques points du calcul fonctionel. Rendiconti del Circulo matematico di Palermo 22, 1-74.
M. Fréchet 1928: Les espaces abstraits et leur théorie considéré comme introdution á l'analyse générale. Paris 1928.
J. Plücker: Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der Geraden als Raumelement. Leipzig 1868.
E. Schmidt 1907: Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen I,II. Math. Annalen 63, 433-76, 64, 161-74.
E. Schmidt 1908: Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. Rendiconti di Circulo matematico di Palermo 25, 53-77.
J. Dieudonné: L'analyse fonctionel. In: Abrégé d' histoire des mathématiques 1700-1900, Paris 1978. Deutsch: Geschichte der Mathematik 1700- 1900. Braunschweig / Berlin 1985.
L. C. Arboleda: Les débuts de l'école topologique sovietique: Notes sur les lettres de Paul S. Alexandroff et Paul S. Urysohn á Maurice Fréchet. Archive for History of Exact Sciences 20 (1979), 73-89.
A.E. Taylor: A Study of Maurice Fréchet I., II., III. Archive for History of Exact Sciences 27 (1982), 233-95, 34 (1985), 279-380, 37 (1987), 25-76.
Ch. J. Scriba, P. Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Berlin-Heidelberg-New York 2005.
P. Schreiber: The Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-Inequality. In: Hermann
Graßmann, Werk und Wirkung. (Internat. Tagung anlässlich des 150. Jahrestages des ersten Erscheinens der "linealen Ausdehnungslehre") Greifswald 1995.

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1) Dabei wird von einem Abstand d nur vorausgesetzt, dass für alle "Punkte" x,y,z des Raumes gilt:
d(x,y) ist nichtnegative reelle Zahl, d(x,y) = 0 genau dann, wenn x = y, und die so genannte Dreiecks-Ungleichung d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z). Felix Hausdorff führte 1914 für Räume mit einem solchen Abstand den Namen "metrischer Raum" ein. Am Beispiel der Kugeloberfläche kann man gut sehen, dass in der gleichen Menge unterschiedliche Abstandsbegriffe sinnvoll sein können: d_i bezeichnet den kürzesten Abstand zweier Punkte längs der Oberfläche, d.h. den Abstand im Sinne der "inneren" Geometrie der Fläche, d_c den "chordalen" Abstand quer durch den umgebenden Raum.