Das mathematikhistorische Kalenderblatt - Januar 2007

Christiaan Huygens' Traktat über Glücksspielrechnung

Im Jahr 2004 haben wir des Briefwechsels zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat über einige Fragen der Wahrscheinlichkeit gedacht. Obwohl es auch dazu einige Vorläufer gibt, wird er meist als eine Art Geburtsurkunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung angesehen. Weit wirkungsreicher war jedoch die kurze Abhandlung von Christiaan Huygens (1629 - 1695), die 1657 in lateinischer Sprache mit dem Titel De ratiociniis in ludae aleae (Über Berechnungen - oder vernünftige Schlussfolgerungen - bezüglich Würfel[bzw. Glücks-]spielen) als Anhang zu einer Aufgabensammlung Exercitationes mathematicae von Frans van Schooten (ca 1615 - 1660) erschien. Van Schooten war kurze Zeit der akademische Lehrer von Huygens an der Universität Leiden gewesen und hat sich auch um die Übersetzung und Verbreitung anderer wichtiger mathematischer Werke verdient gemacht, vor allem um die Géométrie von René Descartes. 1660 erschien Schootens genanntes Werk dann auch in der originalen niederländischen Fassung als Mathematische Oeffeningen, und der Anhang von Huygens hieß nun Van Reeckening in Speelen van Geluck.

Wie gering der Einfluss der Briefe zwischen Pascal und Huygens in der damaligen Zeit war, es war eben nur ein Briefwechsel, damals nicht publiziert und nur fragmentarisch erhalten, sieht man auch daran, dass der junge Huygens bei seinem ersten Aufenthalt in Paris 1656 zwar von diesen Briefen hörte, sich ihren vollständigen Text aber nicht beschaffen konnte. Vielleicht wurde er gerade dadurch angeregt, sich selbst einige Zeit mit diesen Dingen zu beschäftigen. Huygens Abhandlung schließt mit fünf Aufgaben, von denen zwei von Fermat und eine von Pascal stammen, die beiden restlichen von Huygens selbst.. In allen Aufgaben handelt es sich aus heutiger Sicht darum, für einen unendlich verzweigten gerichteten Spielbaum mit Wahrscheinlichkeitsbewertung der Kanten die Werte (Wahrscheinlichkeiten) von unendlich vielen Wegen vom Anfang zu einem der Endknoten aufzusummieren, was meist nur gelingt, weil man auf geometrische Reihen stößt. Ein Beispiel:

"A und B spielen zusammen mit zwei Würfeln unter der Bedingung, dass A gewinnt, wenn er eine Augensumme von 6 wirft, und B, wenn er eine Augensumme von 7 wirft. A führt zuerst einen Wurf aus, dann B zwei Würfe hintereinander, dann wiederum A zwei Würfe, bis einer von beiden als Gewinner feststeht."

Angegeben werden höchstens die Lösungszahlen, aber nicht die Lösungswege. Die Lösung eines der eigenen Probleme schrieb Huygens erst 1665 nieder. (Sie erschien im Druck erst 1920 in seinen Gesammelten Werken.) Danach hat er sich nicht mehr mit der sogenannten Glücksspielrechnung beschäftigt, und seine vielseitigen Hauptverdienste liegen auf ganz anderen Gebieten der Mathematik, Physik und Astronomie. Setzt man dies in Beziehung zu seiner lebenslangen ablehnenden Haltung gegenüber der zu seiner Zeit aufkommenden Differential- und Integralrechnung, so kann man vermuten, dass den reifen Huygens die unsichere logische Fundierung der mit zufälligen Ereignissen zusammenhängenden Begriffe von weiterer Beschäftigung damit abgehalten hat.

Das Wort Wahrscheinlichkeit tritt bei Huygens wie auch bei seinen Vorläufern nirgends explizit auf. Hingegen führt Huygens den Begriff Erwartung bzw. Erwartungswert ein, der auch in der modernen Stochastik eine wichtige Rolle spielt. Implizit handelt Huygens von stochastischen Variablen, die bei ihm - zeittypisch - allerdings nur in der Form des bei einem Spiel zu erwartenden Gewinns auftreten. Daher kommen nur diskrete Definitionsbereiche vor. Ein Satz lautet dann:

"Wenn die Anzahl der Fälle, in denen mir [der Gewinn] a zufällt, gleich p und die Anzahl der Fälle, in denen mir b zufällt, gleich q ist, wird meine Erwartung unter der Annahme, dass alle Fälle gleich leicht (Man beachte die Vermeidung des Wortes wahrscheinlich!) eintreten können, (pa+ qb)/(p+q) wert sein.

Unter dem Paradigma der Glücksspiele konnte Huygens die möglichen Werte a bzw. b der Variablen nur durch eine kompliziert konstruierte Spielregel motivieren, und den für uns heute so naheliegenden Schritt, die relativen Häufigkeiten p/(p+q) und q/(p+q) als Faktoren vor die Werte a bzw. b zu schreiben, vollzog er weder rechnerisch noch gar begrifflich. Dementsprechend kompliziert ist seine Begründung der Regel, die dann von Jacob Bernoulli (1654 - 1705) in seiner Ars conjectandi auf mehr als zwei Summanden ausgedehnt wurde.

Bernoulli begann sein Werk überhaupt mit einer kommentierten Wiederholung des Textes von Huygens. Zur Wirkungsgeschichte gehört auch, dass 1692 in London anonym eine stark erweiterte englische Fassung von Huygens' Abhandlung erschien. Durch sie wurde Abraham de Moivre (1667 - 1754) mit dem Problemkreis der Glücksspielrechnung bekannt. 1718 wurde seine Doctrine of chances als erster britischer Beitrag zum Thema Zufall gedruckt.